원통을 비스듬히 자른 선, 펼쳐 놓으면 왜 모양이 달라질까요?

같은 원통 절단선을 두 방식으로 나타내요. 자른 평면에서 길이 단위가 같고 수직인 두 축으로 재는 경우와, 원통 옆면을 펼친 경우의 식을 비교해요. 타원과 사인곡선이 각각 어떤 면의 좌표에서 나오는지 구별해요.

반지름1인 원통의 옆면을 z=x인 평면으로 잘라요. xy좌표식이 원이므로 절단선도 원이라는 답을 검토해 볼까요? 절단 평면의 직교 단위좌표(U,V)와 원통을 한 바퀴 펼친 좌표(s,z)를 각각 구해 볼까요?

x^2+y^2=1,\quad z=x,\qquad u=(1,0,1)/\sqrt2,\quad v=(0,1,0).

u와v는 길이1이고 서로 직교해요. 절단 평면 안에서 잰 단위가 같은 두 축이에요. 공간점의 x가1씩 바뀔 때 이 평면 방향의 길이는√2씩 바뀌므로 U=√2x가 돼요.

원으로 보인 식은 평면 안의 실제 거리 좌표가 아니에요.

\frac{U^2}{2}+V^2=1,\qquad z=\cos s\ (0\le s\le2\pi).

왼쪽은 자른 평면 안의 타원이에요. 오른쪽은 원통의 옆면을 세로로 갈라 펼쳤을 때의 선이에요. 반지름1이므로 둘레 방향 거리가각θ와 같아s=θ이고 높이는cosθ입니다. 펼친 양끝은 원통에서 같은 경계 위치였다는 점도 남겨요.

교사는 “타원과 사인곡선 중 어느 것이 맞는가” 대신 어느 면의 어떤 좌표인지 먼저 쓰게 해요. 같은 자취를 표현해도 평면에 투영하기와 옆면을 펼치기는 다른 변환이에요. 사진의 모든 실제 원통 절단이 정확히45도라고 추정하지 않아요.

착안 원문: Courbes, PDF p.10: Trigonométrie et sinusoïdes. 조건·문항·증명은 새로 작성했어요. 원문 그림이나 활동 지시의 번역이 아니에요.

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