θ>0에서 P(θ)=r(θ)(cosθ,sinθ)입니다. 바깥쪽 반지름 방향과 θ가 증가하는 접선 방향 사이의 예각을 비교해 볼까요? e_r,e_θ는 아래 직교 단위벡터다.
위치벡터를 미분하면 반지름 r만 변하는 것이 아니에요. 방향 e_r도 e_θ로 변해요. 따라서 P′=r′e_r+r e_θ입니다. 두 벡터의 내적은0이고 길이는1이라 성분의 비로 각도를 계산할 수 있어요.
지수 반지름에서는 두 성분이 같고, 선형 반지름에서는 비가 변해요.
두 나선 모두 밖으로 커지지만 접선이 반지름을 가르는 방식은 달라요. θ=1에서는 선형 반지름도45도여서 한 위치의 그림만으로 전체가 같은 각도라고 판단하면 구별하지 못해요.
교사는 “어느 방향과의 각인가”를 먼저 확인해요. 일정한 각도는 매번 바뀌는 바깥 반지름 방향과 비교한 것이며 고정된 x축과의 접선각이나 곡률이 일정하다는 뜻은 아니에요. 실제 장식무늬의 곡률을 측정한 결과로 확대하지 않아요.
착안 원문: Courbes, PDF pp.5–6: Spirales. 조건·문항·증명은 새로 작성했어요. 원문 그림이나 활동 지시의 번역이 아니에요.