한 꼭짓점에서 산접기와 골접기의 개수 차가±2라면, 종이 전체에서도 두 개 차이일까요? 여러 내부점이 있는 납작한 접기 모형을 생각해요. 각 선은 내부점 둘을 잇거나 내부점 하나에서 종이 경계로 나가며, 경계만 잇는 선은 내부점을 넣어 둘로 나눴다고 정해요.
각 점의 산−골 차가+2인 점을 U개,−2인 점을 D개라 해 볼까요? 점마다 접기선을 세어 합하면2U−2D입니다. 그러나 그 합에서 내부점 둘을 잇는 선은 두 끝점에서 두 번 나타나요. 전체 선 수를 직접 센 M,V와 달라요.
Mi,Vi는 각각 두 내부점을 잇는 산·골 선 수예요. 전체 선마다 한 번 들어 있는M,V에 내부선만 한 번 더 붙이면 점별 집계가 돼요. 그래서 전체 차를 얻을 때 그 추가분을 다시 빼야 해요.
가령 집계표가 U=3,D=1,Mi=5,Vi=1을 기록했다면 계산상 전체 차는0이어야 해요. 경계로 나가는 산−골 차는−4여야 내부선의 차4와 합쳐0이 돼요. 이 숫자들이 실제 각과 층서까지 갖춘 접기를 만들 수 있다는 구성 주장은 아니에요. 주어진 집계가 무엇을 강제하는지 묻는 조건부 계산이에요.
접기선마다 ‘내부점에서 세면 몇 번인가’를 적어 봐요. 한 점의 규칙을 전체의 규칙으로 옮기기 전에 공유 대상의 중복을 교정해야 해요. 단순히 모든 차를 더한 뒤±2를 쓰면 내부선과 경계선의 역할을 놓쳐요.
착안: Hull, The Combinatorics of Flat Folds, §4. 원문의 전체 집계 관계를 자체 설명과 조건부 표 계산으로 재구성했어요. 도해·예제 번역을 사용하지 않았어요.