길이가 같은 실을 작은 원과 큰 원에서 각각 풀면, 자유 끝점의 이동거리도 큰 원 쪽이 더 클까요? 실은 팽팽하고 늘어나지 않으며, 원 위 감긴 부분을 풀어 내는 이상 모형이에요. 반지름a>0에서 끝점 경로와 풀린 실 길이를 다음 식으로 줘요.
t는 시각이 아니라 푼 각도이며 라디안 단위예요. 두 좌표를 미분하면P′(t)=at(cos t,sin t)이므로 길이 변화율은at입니다. 실을ℓ만큼 푼 최종각은T=ℓ/a입니다. 경로 길이는 미분벡터의 크기를 적분해 구해요.
뜻밖에도 큰 원에서 끝점이 지나간 길이는 절반이에요. 원이 커진 효과만 보는 대신, 같은 실 길이를 풀기 위해 돌아야 할 각이 절반이라는 조건도 함께 반영한 결과예요. 같은각T를 고정했다면aT²/2는반지름에 비례하지만, 지금 고정한 것은T가 아니라ℓ입니다.
여기서 이동거리는 각 끝점 경로의 길이이며, 서로 다른 두 원의 시작점이 같다는 조건은 없어요. 두 끝점 사이 직선거리나 실제 실을 당긴 사람의 손 이동을 계산한 것도 아니에요.
‘반지름을 두 배로’라는 줄 옆에 그대로 둔 양이 각인지 실 길이인지 적어 봐요. 비례식의 모양이 같아도 마지막 적분 경계가 바뀌면 비교 결과가 바뀌어요.
착안: Mathcurve, Développante de cercle. 원의 인벌류트 식과 정의를 읽고, 같은 방출 길이에서 반지름을 비교하는 문항·증명은 새로 작성했어요. 원문 그림은 사용하지 않았어요.