원에 감긴 실을 팽팽하게 풀면 실은 원에 접해요. 그렇다면 자유 끝점이 그리는 곡선에도 같은 실이 접할까요? 원의 접점Q와 실의 끝점P를 구별한 이상 모형으로 확인해 볼까요? a>0,t>0이며t는 푼 각도다.
원의 중심은 원점이므로Q가 반지름벡터다. Q와 실 방향P−Q의 내적은0입니다. 실은Q에서 원의 반지름에 수직이므로 원의 접선 방향이에요. 이 계산의 점은Q이고 곡선은원이에요.
이제 끝점P가 그리는 곡선의 접선 방향을 구해요. 두 좌표를 미분하면 아래 벡터가 나와요.
t>0이므로 두 벡터는0이 아니에요. 따라서 실은P에서 끝점 경로의 접선에 수직이며 법선 방향이에요. 같은 선분을 보면서도 어느 점의 어느 곡선에 대한 방향인지에 따라 접선과 법선이 바뀌어요.
t=0까지 같은 논증을 붙이지 않아요. 그때는P=Q이고P′=0이라 두 비영벡터의 수직 판정을 쓸 수 없어요. 그림에 실 선분이 보인다는 인상만으로 매끈한 접선을 승인하면 경계 조건을 놓쳐요.
접선이라는 말 앞에 곡선 이름과 접점을 함께 적어 봐요. 식으로 방향을 표시하면 접점Q의 원 접선과 끝점P의 곡선 법선을 같은 것으로 읽는 오류가 드러나요.
착안: Mathcurve, Développante de cercle의 법선 설명. 두 점·두 곡선을 구별하는 내적 문항과 증명은 새로 작성했어요. 도해나 실제 실험 장면을 복제하지 않았어요.