0과1이 너무 길게 뭉치지 않게 만들면, 결국 같은 블록이 반복될까요? 다음은 바닥 기호로 직접 정의한 무한열이에요. ⌊x⌋는x를 넘지 않는 가장 큰 정수이며n은0부터 시작해요.
0<α<1이라 각 항은0또는1입니다. 어느 위치n에서길이L을 더하면 중간 항들이 지워져⌊(n+L)α⌋−⌊nα⌋가 남아요. nα의 소수부분을r이라 하면 이 값은⌊r+Lα⌋입니다. 따라서 같은길이창의1의수는⌊Lα⌋또는그보다1많은수로 균형을 이뤄요.
1/3<α<1/2를 쓸게요. 길이2의1의수는0또는1이므로11은없다. 길이3의1의수는1또는2이므로000도없다. 그런데 이 강한 짧은 구간 규칙이 주기까지 만들지는 않아요.
만약 어느 항 이후 길이p블록이 반복되고 그 블록에1이k개라면, 첫 유한 구간의 영향이 사라져 같은 비율은k/p로 수렴해요. 이것은 유리수지만α는무리수여서 모순이에요. 처음부터의 주기뿐 아니라 나중에 생긴 주기도 불가능해요.
0이 이어진 구간이 끝없이 길어져야만 수열이 반복되지 않는지 확인해 봐요. 이열에는0도최대두칸연속이지만, 장기비율이 유리수로고정되는 반복블록은없다. 유한한 샘플을 보고 판정한 결론이 아니라 모든N의합과극한을쓴 증명이에요.
착안: Shallit, mechanical floor formula, slide13. 정의식을 읽고 자체α에서 짧은구간금지와 궁극비주기성을 직접 증명했어요. 강의의Sturmian분류 용어를 그대로 따르거나 모든 관련 정리를 증명했다고 주장하지 않아요.