두 목록이 양의 정수를 나눠 가지려면 전체 비율을 합해 1이면 될까요? φ=(1+√5)/2로 둘게요. 원문의 Beatty 정리를 주어진 사실로 쓰면 ⌊nφ⌋와 ⌊nφ²⌋는 n≥1에서 양의 정수를 겹치지 않고 모두 나눠요. 이제 첫 목록의 각 항에만 1을 더해요.
첫 항부터 A′₁=2,B₁=2라 겹쳐요. 두 목록 모두 2에서 시작해 증가하므로 1은 어느 쪽에도 없어요. 원래 정리에 있던 각 항의 정수 경계를 바꾼 효과예요.
그런데 두 목록의 큰 규모 비율은 그대로예요. nφ는 정수가 아니므로 A′ₙ≤N의 조건은 nφ<N입니다. 허용 n의 수는 ⌊N/φ⌋입니다. 원래 A의 개수는 ⌊(N+1)/φ⌋이고 B의 개수는 ⌊(N+1)/φ²⌋입니다.
비율의 극한은 유한한 경계 변화나 개별 충돌을 구별하지 못해요. 합이 1이어도 어떤 수가 두 번 들어가고 어떤 수는 빠지는지 남아 있어요. 겹치지 않음과 빠짐없음을 따로 검사해야 정수 분할을 증명할 수 있어요.
목록을 나눴다고 판단했다면 첫 몇 개의 소속과 중복을 구체적으로 적어 봐요. 현재 반례에서 전체 누락 수나 충돌 수의 완전 분류까지 한 것은 아니에요. 원문의 원래 상보 정리는 주어진 사실로 한정하고, 변형 목록의 밀도와 실패를 직접 증명했어요.
착안: Edinburgh, Number Theory Problem Sheet1, Problem12. 원문의 문항 번역이나 전체 증명 재현이 아니라 한 목록을 이동해선도 밀도만의 한계를 검사하는 새 문항이에요.