나이테의 두 방향이 다르게 줄면, 고리가 그대로 닫힐까요? Purdue의 목재 설명은 반지름 방향과 둘레 방향의 수축을 구별해요. 실제 목재 대신 동심 고리를 그리는 제한 모형을 만들어요.
반지름 r은 1≤r≤2cm, 각 θ는 0≤θ≤2π 라디안이에요. 한 바퀴의 양 끝은 붙일 때 같은 점이에요. 길이가 남는 비 s,t는 각각 반지름·둘레 방향에 대해 0<s,t≤1인 상수예요. 모든 동심원과 방사선을 보존하는 아래 사상만 허용해요. 새 반지름 R도 cm이고 새 각 φ도 라디안이에요. R,φ는 한 번 연속 미분 가능하며 R>0,R′>0,φ′>0입니다.
두 길이 조건을 동시에 지키는 사상 전부와, 닫히면서 겹침 없는 고리가 되는 s,t를 찾아보세요. 겹침 없다는 것은 붙인 고리의 서로 다른 점이 같은 곳에 가지 않는다는 뜻이에요.
첫 조건을 적분하면 R=sr+c이며 c는 상수예요. 둘째 조건의 φ′는 r과 무관해야 해요. r=1,2를 넣어 t/(s+c)=2t/(2s+c)를 얻으므로 c=0입니다. 따라서 가능한 사상은 전부 다음과 같아요. δ는 전체를 돌리는 자유 각이에요. 역으로 대입하면 두 조건을 모두 만족해요.
양 끝의 각 차가 2πk이므로 닫힘은 k가 양의 정수일 때뿐이에요. k≥2면 θ=0과 2π/k가 같은 곳으로 가므로 겹쳐요. k=1이면 반지름과 각을 유일하게 되찾아요. 따라서 닫히고 겹치지 않는 조건은 정확히 s=t입니다. 잘린 고리는 0<k<1에서만 일대일이고, k≥1이면 상은 고리 전체예요.
s=4/5,t=3/5면 k=3/4라 잘라 둔 고리는 3π/2 부채꼴 고리가 되고 π/2가 비어요. 그 안의 점은 새 반지름을 s로 나누고, δ부터 잰 각을 k로 나눠 원래 위치를 되찾아요. s=1/2,t=1은 닫혀도 두 번 겹쳐요. 이는 실제 균열·응력을 예측하지 않아요.
착안: Purdue.