네모 바퀴가 맞는 곡선 길을 만나 축이 같은 높이로 간다고 해 볼까요? 그러면 축의 속도도 일정할까요? “울퉁불퉁하지 않다”는 위치의 높이에 대한 말이에요. 시간당 이동 거리는 별도로 계산해야 해요.
중심에서 한 변까지 거리가 a인 정사각형의 한 변이 길에 닿는 구간만 볼까요? θ는 그 구간의 가운데에서 0인 회전각이고, 축의 수평 좌표 x는 아래 관계를 만족해요. 실제 자전거를 측정한 자료가 아닌 이상적인 구름 모형이에요.
회전각은 길이가 아니며 시간도 아니에요. 시간 t에 대한 각속도를 Ω로 일정하게 정하면 합성함수의 미분에서
축은 가운데보다 변이 바뀌는 곳 가까이에서 더 빨리 가요. 높이가 일정하다는 조건은 이 차이를 없애지 않아요.
이번에는 수평 속력 v를 일정하게 요구하자. 필요한 각속도를 식에서 역으로 구하면 dθ/dt=(v/a)cosθ입니다. 같은 빠르기로 돌리는 대신 가운데에서는 빠르게, 변의 경계에서는 느리게 돌려야 해요. 이 값을 첫 식에 넣으면 수평 속력은 정확히 v입니다.
변이 바뀔 때 각의 표기를 π/4에서 다음 변의 −π/4로 다시 시작해요. 두 코사인 값이 같아서 각속도 값도 v/(√2a)로 이어져요. 각가속도의 연속이나 실제 동력 전달을 입증한 것은 아니에요.
교사는 “일정하다” 다음에 높이, 각속도, 수평 속력 중 무엇인지 쓰게 해요. 이 모형은 축의 높이 조건을 유지하면서도 회전 규칙을 바꿔 이동 속도를 조절해요. 원의 테두리 점이 더 긴 길을 가는 문제와는 판단 대상이 달라요.
착안: Macalester College, Why do catenaries work for the square wheel?. 구름 관계에서 착안해 속도 조건과 역설계 질문을 직접 작성했어요. 원전의 그림과 문장, 실제 자전거 성능 자료는 사용하지 않았어요.