공을 던지는 비행시간의 목록은 같은데, 순서만 바꾸면 잡는 시각이 겹칠 수 있을까요? 세 박자를 반복하며 4박자, 3박자, 2박자 뒤에 돌아오게 던지는 시간표를 볼까요? 순서가 (4,3,2)이면 0·1·2박자의 공이 모두 같은 착지 나머지 1에 모여요. (4,2,3)이면 착지 나머지가 1·0·2로 갈라져요.
실제 묘기를 따라 하는 지시가 아니에요. 모든 정수 시각 n에서 한 공을 잡고 즉시 던지는 정상 상태를 이상화해요. 시작할 때 공이 하나도 없는 준비 과정은 포함하지 않아요. 양의 정수 h_i는 높이가 아니라 다시 잡을 때까지의 박자 수이며, 목록은 m박자마다 반복해요.
착지 나머지가 모두 다르면 시간표가 유효하다고 정해요. 이제 한 순서를 확인하는 대신, 어떤 순서로 바꿔도 유효할 조건을 찾아볼까요?
모든 비행시간을 m으로 나눈 나머지가 r로 같으면 착지 나머지는 i+r입니다. 시작 위치 i가 다르면 끝 나머지도 달라요. 따라서 모든 배열이 유효해요.
역도 증명해야 해요. 나머지가 다른 두 값 α와 β가 있다고 해 볼까요? 서로 다른 위치 i,j를 아래처럼 골라 각각 α,β를 놓을 수 있어요.
두 공의 착지 나머지가 같아져요. 나머지 값들을 어떻게 놓든 이미 생긴 충돌은 없어지지 않아요. 그러므로 모든 배열이 유효하려면 모든 비행시간의 나머지가 같아야 해요.
예를 들어 네 박자에서 (2,6,10,14)는 모두 나머지 2이므로 순서를 마음대로 바꿔도 시간표가 유효해요. 목록의 평균이 정수라는 것만으로는 앞의 (4,3,2) 충돌을 막지 못해요.
교사는 성공한 순서 하나를 찾은 답과 모든 순서의 성공을 증명한 답을 나눠요. 후자에서는 충돌할 두 위치를 거꾸로 만드는 단계가 필요해요. 착지 시각만 판단했으므로 공간에서 공이 부딪치지 않는다는 결론이나 사람이 실제로 수행할 수 있다는 결론은 별도예요.
착안: Carl Bracken, Site Swap Juggling, Bridges 2008, 219–220쪽. 시간표의 원전 정의에서 모든 순서에 대한 조건을 새로 증명했어요. 원전의 목록·도표·문장과 실제 공연 자료는 사용하지 않았어요.