서로 다른 빛의 조합이 같은 값을 보여 주었어요. 두 조합 앞에 같은 필터를 놓으면, 기록도 계속 같을까요? 빛을 측정한다는 생각에서 만든 다음 종이 모형으로 이 질문을 구체화해요. 실제 색 측정 장치나 사람 눈의 감도를 복제한 식은 아니에요.
빛을 네 가지 성분의 양으로 나타내고, 원래 네 양은 모두 양수라 해 볼까요? 세 기록은 다음 합으로 정해요. 같은 식은 필터 뒤 성분이 0이 되어도 적용해요.
예를 들어 p=(1,1,1,1)과 q=(1/2,1/2,1/2,3/2)는 서로 다르지만 세 기록이 모두 (2,2,2)입니다. 네 번째 성분을 늘린 만큼 다른 세 성분을 줄여 같은 기록을 만들었어요. 이 두 입력이 같다는 뜻은 아니에요.
필터가 첫 세 성분은 그대로 두고 네 번째만 절반으로 줄인다고 해 볼까요? p의 새 기록은 (3/2,3/2,3/2), q의 새 기록은 (5/4,5/4,5/4)입니다. 필터를 똑같이 사용했는데 기록은 달라졌어요. 반면 네 성분을 모두 절반으로 줄이면 두 기록은 함께 (1,1,1)이 돼요.
어떤 통과 계수에서 이런 일치가 항상 유지될까요? j번째 성분을 dⱼ배 하는 필터를 생각하고, 0≤dⱼ≤1을 미리 고정해요. 원래 입력 p와 q가 같다는 뜻이 아니라, 세 기록이 같은 모든 양수 입력 쌍을 비교해요.
먼저 같은 기록을 주는 쌍의 차를 구해 볼까요? 네 번째 차 q₄−p₄를 t라 쓰면, 세 합이 같기 위해 다른 세 차는 모두 −t여야 해요. q의 네 성분이 양수라는 조건도 남겨요.
필터 뒤의 네 성분을 Dp, Dq라 쓸게요. j번째 새 기록의 차는 dⱼ(−t)+d₄t입니다.
네 통과 계수가 같으면 이 차는 늘 0입니다. 모두 0인 필터도 포함돼요. 어느 계수 하나가 네 번째와 다르면, 서로 다른 쌍에서는 t가 0이 아니므로 그 기록은 반드시 달라져요. 앞의 양수 두 입력은 그런 쌍이 실제로 있음을 확인해 줘요. 따라서 모든 동일 기록의 양수 쌍을 보존하는 필요충분조건은 네 성분을 같은 비율로 통과시키는 거예요.
이 모형에서는 고르지 않은 필터가 어떤 쌍만 우연히 구별하는 데서 그치지 않아요. 원래 같은 세 기록을 가진 서로 다른 양수 쌍은 모두 필터 뒤에 구별돼요. 다만 새 기록으로 모든 성분을 한 번에 복원했다거나, 임의의 색 측정 장치에서도 같은 결론이라는 뜻은 아니에요.
교사는 ‘같은 기록’과 ‘같은 원래 양’을 먼저 구별하게 해요. 제공 교재의 일대일함수 정의에 따르면 여기의 원래 기록 함수는 일대일함수가 아니에요. 그 확인만으로 끝내지 않고, 어떤 성분별 변화가 모든 일치를 보존하는지 조건을 물어요. 미지수 개수만 세는 답은 필터의 조건까지 알려 주지 않아요.
CIE의 metamerism 정의는 스펙트럼이 달라도 지정한 색 측정 체계의 세 값이 같을 수 있음을 설명해요. Cornell 강의는 광 검출의 가중합과 같은 응답을 가진 다른 스펙트럼을 연결해요. 여기의 네 성분과 세 합, 통과 계수, 예시와 증명은 그 개념에서 만든 자체 문제예요. 실제 필터 실험, 사람이 느끼는 색 변화나 재료의 성능을 확인한 자료는 아니에요.
착안: CIE e-ILV, metamerism 17-23-006, Steve Marschner, Cornell CS417 Lecture38, PDF1–2쪽. 원문 감도 그래프·사진·문장·실험값은 옮기지 않았어요.