가위바위보에서 이기면 받는 점수와 지면 깎이는 점수를 다르게 정하면, 세 가지를 똑같은 확률로 내도 될까요? 실제 돈이나 경기 기록을 쓰지 않는 자체 점수 게임이에요. 같은 손 모양끼리는 0점이에요. 내 선택과 상대 선택은 동시에 이루어지며 서로 독립이에요. 상대는 내 선택 확률을 알 수 있지만, 이번에 실제로 무엇을 냈는지는 보지 못한 채 선택해요.
가점 a,b,c와 감점의 크기 x,y,z는 모두 양수예요. 바위가 가위를 이기면 a점, 보가 바위를 이기면 b점, 가위가 보를 이기면 c점이에요. 반대로 바위가 보에게 지면 x점, 보가 가위에게 지면 y점, 가위가 바위에게 지면 z점을 깎는다. 두 사람의 점수 합이 0이어야 한다는 조건은 없어요.
내 바위·보·가위 선택 확률을 p_R,p_P,p_S라 해 볼까요? 상대가 바위·보·가위 중 하나를 고정했을 때 내 기대점수는 다음과 같아요.
모든 상대 선택에서 기대점수가 음수가 되지 않게 하는 확률이 존재할 조건을 구해 볼까요? 세 가점과 세 감점의 곱이 같은 경우에는 선택 확률이 유일한지도 확인하고, 곱이 더 큰 경우에는 모든 상대에게 기대점수를 양수로 만들 수 있는지도 판단해 볼까요?
상대가 세 손 모양을 섞으면 내 기대점수는 g_R,g_P,g_S의 가중평균이에요. 따라서 모든 상대 분포에서 비음수일 조건은 이 세 값이 모두 0 이상인 것과 같아요. 이번 목표는 그중 가장 작은 값을 최대화하는 최적화가 아니라, 비음수 조건을 만족하는 선택이 있는지 판정하는 거예요.
조건을 만족하는 확률에서는 세 성분이 모두 양수여야 해요. 예를 들어 p_R=0이면 g_S≥0에서 p_P=0, 이어 g_R≥0에서 p_S=0이 되어 합이 1인 조건에 어긋나요. 나머지 성분도 같은 순환으로 확인해요. 따라서 다음 세 부등식을 곱한 뒤 확률의 곱을 약분할 수 있어요.
반대로 abc≥xyz이면 아래 확률을 직접 만들 수 있어요. 첫 두 기대점수는 0이고 마지막은 비음수다.
따라서 가점 세 값의 곱이 감점 세 값의 곱 이상인 것이 필요충분조건이에요. 곱이 더 작으면 어떤 확률을 정해도, 그 선택에 음수 기대점수를 주는 상대의 손 모양이 적어도 하나 남아요.
abc=xyz라면 앞의 세 부등식 중 하나라도 엄격할 수 없어요. 세 성분이 양수이므로 하나가 엄격하면 곱도 엄격해지기 때문이에요. 전부 등호로 놓고 확률의 합을 1로 맞추면 위의 (bc,xz,bx)/D 하나만 남아요.
abc>xyz라면 더 강한 선택도 가능해요. 1<t<√(abc/xyz)를 하나 정하고 다음 비례값을 합이 1이 되게 나눠요. 세 기대점수의 부호는 나누기 전에도 같아요.
세 값이 모두 양수이므로 상대가 어떤 독립적인 분포로 골라도 기대점수는 양수예요. t를 허용 구간에서 바꿀 수 있어 비음수 조건의 선택도 하나뿐이 아니에요.
작은 자체 예로 세 가점은 모두 2점, 감점은 바위 3점·보 1점·가위 1점으로 정할게요. 곱은 8과 3이어서 조건을 만족해요. 그러나 균등하게 내면 상대가 보를 고정했을 때 기대점수가 −1/3입니다. 선택 확률을 (3/11,3/11,5/11)로 바꾸면 상대 바위·보·가위에 대한 기대점수는 각각 1/11,1/11,3/11로 모두 양수예요.
같은 가점과 나머지 두 감점을 유지한 채 바위의 감점만 8점으로 바꾸면 곱이 같아져요. 이번에는 (1/7,2/7,4/7)만 조건을 만족하고 세 기대점수가 모두 0입니다. 그 감점을 9점으로 올리면 조건을 만족하는 선택 자체가 사라져요. 한 가지 배분을 계산하는 것과 배분의 존재를 판단하는 것은 다른 질문이에요.
먼저 상대를 바위로 고정한 한 열의 기댓값(확률을 반영한 평균)을 써 봐요. 가점과 감점의 크기를 각각 읽고, 세 열 모두의 부호를 확인한 뒤에 상대가 섞는 경우로 넘어가 봐요. 균등하게 섞는다는 익숙한 답을 먼저 쓰면 점수 규칙의 차이가 가려져요. 양수로 나눠도 되는지 확인하지 않은 채 확률의 곱을 약분하는 풀이도 점검해요.
기대점수가 비음수라는 것은 한 판마다 지지 않거나, 정해진 횟수 안에 점수가 반드시 남는다는 약속이 아니에요. 상대가 내 실제 손 모양을 보고 뒤늦게 대응하는 게임도 이번 조건 밖이에요. 실제 참가자 반응이나 게임 운영 효과를 측정한 글은 아니에요.
착안: CMU 15-281, Lecture 23: Game Theory, PDF 4·10·11·31·45쪽. 원문의 동시 선택·혼합전략·기댓값 관점에서 착안했어요. 표준 가위바위보의 균등 혼합이나 일반 균형 정리 자체를 새 결과로 세지 않고, 여섯 양수 점수의 존재 조건·등호의 유일성·엄격한 경우의 구성과 작은 예를 자체 작성했어요. 원문 문항·수치 예제·표·도판은 옮기지 않았어요.