빛을 거르는 필터를 한 장 더 넣었는데, 마지막에 보이는 빛이 더 밝아질 수 있어요. 그렇다면 어느 방향으로 넣어야 할까요? 두 고정 필터의 축 사이에 있는 방향만 살펴보면 모든 답을 찾을 수 있을까요?
첫 필터를 지난 빛은 0 방향으로 선형 편광되어 있고 세기를 1로 정해요. 마지막 필터의 축은 θ이며 0≤θ≤π/2입니다. 그 사이에 축이 φ인 필터 한 장을 넣어요. 축은 반 바퀴 돌리면 같으므로 0≤φ<π만 비교해요. 각 필터를 지난 빛의 방향은 그 축으로 바뀌며, 세기는 바로 앞 빛과 다음 축의 각도 차에 대한 코사인 제곱만큼 남는다고 가정해요. 추가 흡수나 직교 누설은 없는 이상 모형이에요.
중간 필터를 넣은 뒤의 세기가 T₀보다 엄격히 커지는 모든 φ를 찾아볼까요? c=cosθ, z=cos(2φ−θ)라고 쓰면 0≤c≤1, −1≤z≤1입니다. 제공 교재의 코사인 덧셈정리에서 합과 차의 두 식을 더해 곱을 합으로 바꿔요.
마지막 두 가지는 (c+z)²>4c²에서 나와요. c가 음이 아니므로 c+z>2c뿐 아니라 c+z<−2c도 남겨야 해요. 세기를 구할 때는 진폭을 제곱하므로 곱이 음수라는 이유로 두 번째 가지를 버릴 수 없어요.
θ=0이면 c=1입니다. z는 −1과 1 사이이므로 두 가지 모두 불가능해요. 같은 축의 두 필터 사이에서는 어떤 축을 추가해도 더 밝아지지 않아요.
0<θ≤π/2에서는 첫 가지 z>c를 만족하는 각도가 정확히 0<φ<θ입니다. 두 고정 축 사이에 중간 축을 두는 익숙한 답이에요. 하지만 여기서 멈추면 두 번째 가지를 아직 검사하지 않은 셈이에요.
z의 최솟값은 −1이므로 z<−3c가 가능할 필요충분조건은 c<1/3입니다. 이 경우 cosβ=3c인 유일한 0<β≤π/2를 정하면 모든 추가 해를 다음 구간으로 쓸 수 있어요.
이 구간은 0<φ<θ와 떨어져 있어요. 두 고정 축 사이로만 φ를 제한한 답안에는 없는 구간이에요. c=1/3인 경계에서는 폭이 0이 되고 두 번째 가지의 엄격한 밝아짐도 사라져요. 두 축이 직교하는 θ=π/2에서는 β=π/2이므로 두 구간은 (0,π/2)와 (π/2,π)입니다. φ=0이나 π/2인 경우는 여전히 어두워요.
두 번째 구간의 가운데를 실제로 넣어 보면 새 가지의 의미가 더 분명해요.
같은 방식으로 중간 축을 두어도 고정 두 축의 각도에 따라 밝아짐 여부가 바뀌어요. 새 필터가 빛을 만들어 낸다는 뜻은 아니에요. 필터를 추가하면 마지막 필터에 도달하는 편광 방향도 달라지므로, 서로 다른 경로의 마지막 세기를 비교한 결과예요. 모든 세기는 입력의 1을 넘지 않아요.
가운데 방향에서 성공한 예 하나를 전체 답으로 받아들이기 전에, φ의 허용 범위를 표시해 봐요. 제곱 부등식을 풀 때 양의 가지 하나만 남겼는지, 엄격한 부등호의 경계까지 포함했는지도 확인해요. θ가 바뀔 때 해 구간의 개수가 달라지는 이유를 코사인의 범위와 연결하는 것이 이 질문의 중심이에요.
착안: UCSB Physics Lecture Demonstrations, 84.36 Polarizers의 선형 편광 설명과 1번 절을 실제 읽었어요. 통과 방향과 세기의 법칙에서 착안했지만, 현재의 모든 삽입각 분류와 1/3 경계·증명은 자체 문제예요. 원문 사진·실험 지시·직교 45도 예를 옮기지 않았고, 실제 필터 성능이나 학생 반응을 확인한 자료도 아니에요.