직선을 그리는 막대 기구, 가운데 구간은 왜 비어 있을까요?

힌지로 이어진 막대 기구가 직선을 그린다고 해요. 그렇다면 그 직선 위를 위아래로 끊김 없이 모두 움직일 수 있을까요? 막대가 접혀 두 관절이 겹치는 상태를 허용하지 않으면, 직선의 가운데에 빈 구간이 생길 수 있어요.

평면에 고정한 점 O=(0,0)에서 같은 길이 H의 막대 두 개를 A와 B까지 이어요. 길이 h인 막대 네 개는 A-P-B-Q를 차례로 이어 볼록한 마름모를 만들어요. H>h>0이며 마름모의 네 꼭짓점은 서로 달라요. P를 O에 더 가까운 대각선 끝점으로 정해 OP<OQ라 해요. 막대의 두께나 충돌, 마찰은 다루지 않는 자체 이상 모형이에요.

P는 중심(t,0), 반지름 t인 원 위에 놓이게 해요. t>0은 한 번의 움직임 동안 고정해요. 이 원은 O를 지나지만, P=O는 현재 막대 조건에서 얻어지지 않아요. 먼저 H=5,h=3,t=4에서 Q가 움직일 수 있는 모든 곳과 위쪽에서 아래쪽으로 이어 갈 수 있는지를 구해 볼까요? 이어 H,h,t가 바뀌는 전체 경우를 분류해요.

\begin{gathered} OA=OB=H,\qquad AP=PB=BQ=QA=h,\\ (u-t)^2+v^2=t^2\qquad(P=(u,v)). \end{gathered}

마름모 대각선의 교점을 M이라 해 볼까요? 두 대각선은 수직이고 서로를 이등분해요. OA=OB이므로 O도 대각선 PQ의 직선 위에 있어요. OM=m,PM=QM=a,AM=BM=b로 놓으면 피타고라스 관계는 다음과 같아요.

a^2+b^2=h^2,\qquad m^2+b^2=H^2.

K=H²−h²라 쓰면 K>0이고 m²−a²=K입니다. 따라서 O는 선분 PQ 밖에 있어요. P가 가까운 끝점이므로 OP=m−a, OQ=m+a이고 두 거리의 곱은 K입니다. 이 거리 곱과 원을 직선으로 바꾸는 반전의 성질은 Matemateca 원문이 설명한 알려진 배경이에요.

현재 질문에서는 막대가 납작하게 접히는 두 경계를 제외해야 해요. a와 b가 모두 양수이므로 0<a<h입니다. Q까지의 거리 D는 a가 커질수록 커져 다음 범위를 가져요.

\begin{gathered} D=a+\sqrt{K+a^2},\\ \sqrt K<D<H+h. \end{gathered}

왼쪽 끝 D=√K에서는 P와 Q가 겹쳐요. 오른쪽 끝 D=H+h에서는 A와 B가 겹쳐요. 어느 쪽도 현재의 네 꼭짓점 조건을 만족하지 않아요.

두 점이 O에서 같은 반직선 위에 있고 거리 곱이 K이므로 Q=KP/|P|²입니다. 여기서 |P|는 O부터 P까지의 거리예요. P의 원 조건은 |P|²=2tu로 쓸 수 있어 Q의 x좌표는 고정돼요. L=H+h라 놓으면 모든 출력의 필요조건은 다음과 같아요.

\begin{gathered} s=\frac K{2t},\qquad Q=(s,y),\\ K<s^2+y^2<L^2. \end{gathered}

제공 교재의 두 점 사이의 거리와 원의 방정식은 여기까지의 좌표 계산에 쓰여요. 그러나 직선 x=s를 얻었다는 것만으로 그 직선 전체를 기구가 지날 수 있다고 말할 수 없어요.

이제 부등식을 만족하는 모든 점이 정말 가능한지도 확인해 볼까요? 그런 Q의 거리 D=√(s²+y²)에 대해 다음 길이를 복원해요.

\begin{gathered} d=\frac K D,\qquad m=\frac{D+d}{2},\qquad a=\frac{D-d}{2},\\ b=\sqrt{h^2-a^2}. \end{gathered}

D>√K이면 a>0입니다. D<L이면 a<h여서 b도 양수예요. O에서 Q로 향하는 단위 방향을 e라 하고, 그에 수직인 단위 방향 하나를 f라 해 볼까요? P=de,A=me+bf,B=me−bf로 잡으면 네 작은 막대의 길이는 h, 두 큰 막대의 길이는 H가 돼요. P의 x좌표를 u라 하면 |P|²=2tu도 만족하므로 지정한 원 위에 있어요. 마름모는 볼록하고 네 점도 서로 달라요. 따라서 앞의 부등식은 필요할 뿐 아니라 충분해요.

Q의 세로좌표를 분류하면 어떤 빈칸이 생기는지 보여요.

고정된 s의 범위	가능한 y 전체
s≥L	없음
√K<s<L	$\lvert y\rvert<\sqrt{L^2-s^2}$
0<s≤√K	$\sqrt{K-s^2}<\lvert y\rvert<\sqrt{L^2-s^2}$

두 번째 행은 가운데 y=0을 포함한 한 열린 구간이에요. 마지막 행은 양수와 음수 쪽에 떨어진 두 열린 구간이에요. 특히 s=√K여도 y=0 한 점은 빠져요. 닫힌 경계로 바꾸어 붙이면 두 관절이 겹치는 금지 상태를 답에 넣는 셈이에요.

s=K/(2t)를 대입하면 입력 원의 반지름 t에 따른 전체 경계도 얻어요.

\begin{gathered} t\le\frac{H-h}{2}:\quad\text{없음},\\ \frac{H-h}{2}<t<\frac{\sqrt K}{2}:\quad\text{한 구간},\\ t\ge\frac{\sqrt K}{2}:\quad\text{떨어진 두 구간}. \end{gathered}

입력 원을 크게 만든다고 출력의 두 부분이 반드시 이어지는 것은 아니에요. 마지막 경우에서는 오히려 가운데를 지나는 데 필요한 마름모 상태가 금지돼요.

H=5,h=3이면 K=16,L=8입니다. 처음의 t=4는 s=2이므로 답은 2√3<|y|<2√15입니다. 위쪽의 Q를 아래쪽으로 연속 이동시키려면 세로좌표가 중간에 0을 지나야 해요. 그 점이 허용되지 않으므로, 같은 원 조건과 서로 다른 네 관절을 유지한 채로는 이동할 수 없어요.

반면 t=4/3에서는 s=6이고 |y|<2√7입니다. 이제 y=0도 허용돼요. 앞의 역구성에서 f를 한 방향으로 계속 택하면 P,A,B도 y에 따라 연속으로 변하므로, 구간 안의 위아래를 이어 이동할 수 있어요. t=2의 경계에서는 0<|y|<4√3으로 가운데 한 점이 다시 빠져요. t=1 이하에서는 가능한 상태가 아예 없어요.

직선 방정식을 구한 줄, 모든 막대 길이를 복원한 줄, 두 구간 사이를 실제 조건 안에서 이어 갈 수 있는지를 서로 다른 질문으로 확인해 봐요. 원에 대한 반전 자체나 ‘필요조건만으로는 부족하다’라는 일반 교훈을 새 정리라고 하는 글은 아니에요. 모든 막대 길이와 입력 원의 크기에 대한 정확한 도달 범위 및 그 경계에서의 이동 가능 여부가 현재 자체 질문이에요.

착안: Matemateca, Universidade de São Paulo, Inversor de Peaucellier의 Mecanismo·Inversão 본문을 읽었어요. 알려진 막대 관계에서 착안해 자체 조건과 전 범위 질문을 구성했으며, 원문 사진·도판·기구 제작법은 사용하지 않았어요. 실제 기계의 작동 범위나 학생 반응을 측정한 자료가 아니에요.

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