물살이 배의 물 대비 속력보다 빠르면, 도착을 늦추려고 돌아가는 데에도 끝이 있을까? 자체 단위로 물살은 동쪽 속력 2, 배는 물에 대해 속력 1이다. 목표는 동쪽으로 6만큼 떨어진 점이다. 한 방향으로만 가면 2 또는 6의 시각에 도착한다. 방향을 바꾸어 시각 3에 도착하는 것은 가능한데, 시각 7은 불가능하다.
실제 강 대신 끝없이 넓은 평면에서 점형 배를 생각한다. 물살은 u=(w,0)이고 w>v>0이다. 배의 물 대비 속력 v는 바꾸지 않는다. 각 구간의 방향은 일정하며 유한 번 순간적으로 바꿀 수 있다. 정지·닻·속력 변경·강둑·장애물·관성·회전시간은 제외한다. 목표 P=(X,Y)는 출발점과 다르며, 양의 시각 T에 처음 도착해야 한다.
물 대비 방향 n의 크기는 1이다. 지면 대비 속도는 물 대비 속도에 물살을 더한 u+vn이다. 구간마다 걸린 시간을 t_i라 쓰면 다음 필요조건이 나온다.
한 방향으로만 가면 |P−uT|=vT다. 방향을 바꾸면 부등식의 내부도 가능할까? 벡터의 크기를 줄일 수 있다는 말만으로 실제 진로가 만들어졌다고 결론 내리지는 말자.
부등식을 만족하는 T에서 h=(P−uT)/(vT)로 놓는다. 크기가 1 이하인 h와 수직인 단위벡터 f를 고른다. h=0이면 f는 아무 단위 방향이어도 된다. 두 방향을 다음과 같이 만들자.
서로 수직인 성분의 제곱을 더하면 두 방향의 크기는 모두 1이다. 앞의 방향으로 T/2, 뒤의 방향으로 T/2씩 가면 목표에 도착한다. h의 크기가 1이면 두 방향은 같고, 1보다 작으면 한 번의 전환이 필요하다. 여러 번 바꾸는 모든 경로에서 필요한 부등식을 두 구간만으로 충분하게 만들었다.
첫 도착이라는 조건도 확인해야 한다. 지면 대비 x속도는 모든 구간에서 w+vn_x≥w−v>0이다. x좌표가 계속 증가하므로 목표를 일찍 지났다 다시 돌아와 시간을 맞출 수 없다. 앞의 구성은 실제 첫 도착이다. 목표의 X가 0 이하라면 처음부터 불가능하다.
X>0에서 가능한 시각 전체를 구하자. a=w²−v²>0, Δ=v²X²−aY²로 놓는다. 제곱한 부등식과 그 두 경계는 다음과 같다.
판별식은 4Δ다. Δ<0이면 해가 없다. Δ=0이면 wX/a 한 시각만 가능하다. Δ>0이면 두 근 사이의 닫힌 구간 전체가 가능하다. 두 근은 모두 양수다. w²X²−Δ=a(X²+Y²)>0이어서 wX가 √Δ보다 크기 때문이다. 이차부등식의 답에서 음의 시간을 따로 끼워 넣은 것은 아니다.
| 목표의 조건 | 가능한 도착 시각 | 방향 전환 |
|---|---|---|
| X≤0; 또는 X>0, Δ<0 | 없음 | 더 늘려도 불가능 |
| X>0, Δ=0 | 한 시각 | 고정 방향으로 가능 |
| X>0, Δ>0 | [T−,T+] 전체 | 양끝은 0번, 내부는 1번 |
표의 Δ는 X>0일 때 계산한 값이다. 고정 방향만 허용하면 마지막 행에서도 두 끝 시각만 남는다. 한 번 전환을 허용하면 내부를 전부 채우지만, 두 번 이상 전환해도 바깥 시각을 새로 얻지는 못한다. 원이나 원판의 기하 관계 자체는 알려진 배경이다. 여기서는 고정 속력 아래 허용한 진로 조작과 첫 도착 시각의 전체 범위를 함께 비교한다.
처음의 자체 예에서는 3(T−2)(T−6)≤0이므로 [2,6]이다. 시각 3을 만들려면 물에 대해 북쪽으로 1.5, 남쪽으로 1.5의 시간 동안 간다. 지면 대비 속도는 (2,1)과 (2,−1)이므로 마지막 위치가 (6,0)이다. 북쪽 이동이 줄었다고 배의 물 대비 속력을 줄인 것은 아니다.
그러나 시각 7은 만들 수 없다. 어느 방향에서든 동쪽 성분은 최소 1이어서 그때 x좌표는 적어도 7이다. 일반적으로도 T≤X/(w−v)다. 가능한 가장 늦은 시각이 이 상한과 같아지는 경우는 Y=0뿐이다. 상한까지 시간을 쓰려면 항상 물에 대해 정서쪽으로 향해야 해서 세로 이동을 할 수 없기 때문이다.
교사는 도착 가능한 위치를 나타낸 부등식, 실제 두 방향을 만든 줄, 목표를 먼저 지나지 않았다는 줄을 따로 확인하게 한다. 이 모형은 느리게 멈추거나 강둑에 붙어 기다리는 방법을 허용하지 않는다. 물살이 더 빠르다는 조건을 바꾸거나 회전시간·장애물을 넣으면 현재 결론을 그대로 적용할 수 없다. 실제 조종 방법이나 안전한 운항을 권하는 글도 아니다.
착안: University of Texas at Austin, Vadim Kaplunovsky, PHY302K Problem set 4 solutions, problem 3.66의 PDF 1–3쪽 텍스트와 전체 이미지를 읽었다. 속도의 벡터 덧셈과 빠른 물살에서 양의 진행 성분을 배경으로 사용했다. 원문의 왕복 수치 문제·도판·문장 순서·표시가 혼동되는 방향 그림은 옮기지 않았다. 방향 전환 허용과 모든 목표의 도착 범위·구성은 자체 교육용 질문이다.