20도에서 길이가 같은 블록, 25도에서도 같을까요?

같은 길이의 블록이면 바꿔 끼워도 될까요? 길이 기준에 쓰는 게이지 블록의 기록에는 길이뿐 아니라 열팽창 성질도 따로 적어요. PTB 자료의 이 구별에서 출발해, 부품 카드 한 장을 고르는 종이 활동을 만들어 봐요.

길이 단위는 mm이고 1µm=0.001mm입니다. 각 블록의 길이는 20~25°C에서 정확히 일차식이라고 정해요. k는 온도가 1°C 높아질 때 그 블록이 길어지는 양(µm)이며, 길이에 대한 비율이 아니에요. 블록을 잇는 틈과 접촉막 두께는 0으로 두고 길이만 더해요. 실제 가열·교정 실험은 아니에요.

기준 R은 20°C에서 100mm, k=2입니다. 고정 블록 F는 50mm, k=1.4입니다. F에 아래 중 하나를 붙여 R과 같게 만들어 봐요. 모두 20°C에서는 50mm지만 k는 달라요.

교체 카드	A	B	C
k	0.4	0.6	0.8

처음에는 A를 썼어요. 20°C에서 50+50=100이므로, 그 온도의 길이 검사만 하면 셋 모두 통과해요. 목표는 20°C와 25°C에서 둘 다 기준과 같게 하는 거예요. F와 기준은 고정하고 A 한 장만 교체할 수 있어요. 길이를 늘이거나 온도 목표를 바꾸는 수정은 허용하지 않아요.

새 카드의 k를 x라 둘게요. L은 길이이고, D는 붙인 두 블록의 길이에서 기준 길이를 뺀 차예요.

\begin{aligned} L_R(T)&=100+0.002(T-20),\\ L_{F+x}(T)&=100+0.001(1.4+x)(T-20),\\ D(T)&=0.001(x-0.6)(T-20). \end{aligned}

25°C를 넣어 교체 카드를 정해요.

D(25)=0.005(x-0.6)=0\Longrightarrow x=0.6.

B가 유일한 답이에요. A는 25°C에서 기준보다 1µm 짧고 C는 1µm 길어요. B는 차의 기울기를 0으로 만들어, 정해 둔 일차 모형에서는 20~25°C의 모든 온도에서도 일치해요. 온도를 20°C로 되돌리면 A도 잠시 맞지만, 다른 온도까지 맞춘다는 목표는 해결하지 못해요.

교사는 먼저 세 카드의 20°C 합을 받고, 이어 25°C 차를 계산해 한 장을 선택하게 해요. 두 온도만 확인해 중간도 같다고 말할 수 있는 이유는 미리 준 일차식 조건이에요. 실제 블록의 불확도·재질·접촉 효과까지 없어졌다는 결론은 내리지 않아요.

착안: PTB/DKD, 게이지 블록의 디지털 교정 기록, §5.3. 길이와 열팽창 항목의 구별만 참고했어요. 수치·일차식·교체 재고는 자체 조건이며 원전의 교정값·도표·XML 양식을 옮기지 않았어요.

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