30° 조각 여섯 개로 180°를 채웠어요. 반원은 완성됐으니 꼭대기의 중앙 조각도 있다고 해도 될까요? Chicago Architecture Center는 아치 꼭대기의 중앙 쐐기돌을 설명해요. 그 모습에서 착안해, 각도 합과 중앙의 위치를 따로 검사하는 종이 모형을 만들어 봐요.
20° 조각 5개와 30° 조각 6개가 있어요. 모두 같은 중심·같은 안쪽과 바깥쪽 반지름을 갖는 환형 부채꼴이에요. 반원 모양 띠의 0°부터 180°까지를 빈틈·겹침 없이 채워요. 조각을 자르거나 새로 보태지 않고, 재고를 모두 쓸 필요는 없어요.
배치는 90° 방향의 선에 대해 좌우대칭이어야 해요. 이 선은 줄눈이 아니라 한 조각의 내부를 지나야 해요. 그 조각을 이번 모형의 ‘중앙 조각’이라고 불러요. 실제 아치의 힘·강도·시공을 판정하는 조건은 아니에요.
20°·30° 조각의 사용 개수를 각각 정수 a·b≥0이라 해 볼까요? a≤5, b≤6이며, 각도 합은
공통수학1의 일차방정식 기초로 b를 정하면 a=(18−3b)/2입니다. a가 정수이므로 b는 짝수예요. 음수 개수를 제외하면 아래 네 쌍뿐이에요.
| a | b | 재고 안에서 가능 | 중앙 한 조각 |
|---|---|---|---|
| 9 | 0 | 아니오 | 가능 |
| 6 | 2 | 아니오 | 불가 |
| 3 | 4 | 예 | 가능 |
| 0 | 6 | 예 | 불가 |
중앙 이외의 조각은 좌우에 같은 각도끼리 짝지어져요. 중앙이 20°라면 a는 홀수·b는 짝수이고, 중앙이 30°라면 반대예요. 그런데 b는 이미 짝수여서 중앙은 30°일 수 없어요. a도 홀수인 두 행 중 재고를 지키는 것은 (3,4)뿐이에요.
따라서 30° 여섯 개는 각도와 재고는 맞지만 실패해요. 경계가 0·30·60·90·120·150·180°라서 꼭대기 90°가 줄눈이에요. 대칭이라고 해서 중앙의 선이 반드시 조각 내부를 지나는 것은 아니에요.
실제로 되는 배치도 적어 볼까요? 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝으로 읽은 각도 순서는 다음과 같아요.
가운데 20° 조각은 80~100°라 90°를 내부에 담아요. 나머지 경계는 0·30·60·80·100·120·150·180°입니다. 좌우를 뒤집으면 경계 θ가 180−θ로 옮겨져 같은 경계에 도착해요. 20° 세 개와 30° 네 개로 7조각을 쓰며 재고도 넘지 않아요. 유일한 것은 사용 개수와 중앙 조각의 각도이고, 좌우 세 조각의 순서는 다른 대칭 배치도 가능해요.
각도 합을 확인한 도면에 90° 선을 그어 봐요. 합을 맞추는 식, 쓸 수 있는 재고, 선이 조각 내부를 지나는 조건을 세 줄로 나눠 검사하면 여섯 조각의 오답이 드러나요.
착안: Chicago Architecture Center, Keystone. 중앙 쐐기돌이라는 배경만 참고했어요. 환형 종이·각도·재고·대칭과 중앙선 조건·표·검산은 자체 구성이며 원전의 건물 사진·문장·시공 설명은 옮기지 않았어요.