질량이 더 크면 밀도도 더 높을까요? NASA의 블랙홀 설명은 전하와 회전이 없는 경우 경계 반지름이 질량에 비례한다고 알려 줘요. 여기서는 그 반지름에 유클리드 구 부피를 적용해 만든 평균 밀도 지표만 비교해요. 실제 블랙홀 내부의 부피나 물질 밀도를 측정했다는 뜻은 아니에요.
질량을 M킬로그램, 경계 반지름을 r미터라 하고, 같은 양의 상수 k에 대해 r=kM으로 둬요. 따라서 k의 단위는 m/kg입니다. 가상의 두 블랙홀에서 B의 질량이 A의 네 배라면 반지름도 네 배예요.
V=4πr³/3을 사용한 지표 ρ*=M/V의 단위는 kg/m³입니다. 질량은 네 배지만 이 정의의 부피는 64배이므로 결과가 뒤집힙니다.
같은 관계를 문자로 정리하면 ρ*=3/(4πk³M²)입니다. 이 지표는 질량의 제곱에 반비례해요. 같은 크기 안에 질량만 더 넣는 비교와, 질량 증가에 따라 경계 반지름까지 늘어나는 비교는 다른 결론을 내요. ‘평균 밀도’라는 말에는 어떤 부피를 정의했는지 함께 밝혀야 해요.
참고한 수학 개념: NASA · Frequently Asked Questions (FAQs) on Black Holes.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.