같은 넓이의 입구를 한 관과 네 관으로 나누면, 올라온 물의 양도 같을까요? 하버드의 모세관 안내는 관이 가늘수록 물이 높이 올라오는 반비례 관계를 설명해요. 여기서는 그 관계를 정확한 종이 모형으로 정해 두 묶음을 계산해요.
A는 안쪽 반지름 2mm인 관 한 개, B는 반지름 1mm인 관 네 개예요. 두 수조의 수면은 0으로 유지하고 관들은 서로 간섭하지 않아요. 관은 충분히 길며 곡면인 수면·관벽의 부피와 도달 시간은 제외해요.
r와 h는 반지름과 수조 수면 위 상승 높이를 mm로 잰 수치예요. 높이는 h=2/r로 정확히 줘요. 공통수학2의 유리함수처럼 r=0에서는 식을 쓸 수 없으며, 이 모형에서는 r>0만 사용해요. n은 한 묶음의 관 수예요. S는 입구 넓이 합(mm²), V는 수조 수면 위 원기둥 모양 물의 부피 합(mm³)입니다.
A의 입구 넓이는 π×2², B는 4×π×1²여서 둘 다 4π입니다. 하지만 A의 높이는 1, B의 각 높이는 2입니다. 관 하나의 부피를 구한 뒤 관 수를 곱하면
입구의 전체 넓이가 같아도 B에 올라온 물의 양은 A의 두 배예요. 모든 물기둥이 1.5mm 눈금을 넘는 모습을 목표로 하면 B를 골라요. 면적에는 반지름의 제곱을, 높이에는 반지름의 역수를 쓰므로 같은 면적을 만드는 분할이 높이와 부피까지 보존하지 않아요. 물의 실제 흡수량이나 식물의 급수 성능을 예측한 실험은 아니에요.
착안: Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations, Capillary Action의 전체 네 설명 구간. 원문의 관 규격·그림·실험을 옮기지 않고 반비례 관계에서 동일 입구 넓이의 두 묶음과 계산 목표를 자체 구성했어요.