움직이는 행성을 만나려면 지금 자리가 아니라 도착할 때의 자리를 맞춰야 해요. NASA의 궤도 전이 설명에서 착안한 가상 태양계를 계산해 볼까요? 같은 평면에서 같은 방향으로 도는 원형 궤도의 반지름은 1AU와 4AU이며, 안쪽 행성의 주기는 1년이에요. AU는 이 모형에서 쓰는 거리 단위예요.
같은 중심 천체의 케플러 관계 P²=a³를 이 단위에 적용해요. 바깥 행성 주기는 8년이에요. 안쪽에서 출발해 바깥에 닿는 타원은 두 끝의 반지름이 1과 4이므로 긴 반축 a=2.5AU입니다. 타원 반 바퀴를 가는 시간 t는 다음과 같아요.
그동안 바깥 행성은 360t/8≈88.94도 이동해요. 우주선의 도착 방향은 출발 방향에서 180도 건너편이므로, 출발 순간 행성이 앞서 있어야 할 각도 φ를 빼기로 구해요.
처음부터 행성이 180도 앞에 있으면 도착할 때는 약 268.94도에 있어 만나지 못해요. 순간적으로 궤도를 바꾸고 나머지는 타원으로 진행하는 이상 모형의 결과이며 실제 행성의 발사 일정은 아니에요. 궤도에 닿는 일과 행성을 만나는 일은 시간을 함께 맞춰야 연결돼요.
참고한 수학 개념: NASA · Chapter 4: Trajectories.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.