둥근 물체에 빛이 비치면 표면의 절반이 밝아집니다. 하지만 정면 사진에서 밝게 보이는 비율은 관찰 방향에 따라 달라져요. NASA의 달빛 보정 자료에 나온 투영 면적 개념을 작은 구를 촬영하는 가상 모형으로 옮겨 볼까요?
구 반지름을 R이라 하고, 빛은 평행하게 들어오며 카메라는 충분히 멀리 있어요. 구 중심에서 빛 쪽과 카메라 쪽을 향한 두 방향의 각을 α로 정해요. α=0도이면 원판 전체가 밝고, 180도이면 밝은 면이 뒤로 숨습니다. 그림자의 가장자리는 구의 큰 원을 투영한 타원이에요.
그 타원의 반쪽 면적과 원판의 반쪽 면적을 합치거나 빼면 밝은 투영 면적 A를 얻어요. cos α의 부호가 더하기와 빼기를 함께 표현해요.
60도에서는 (1+1/2)/2=3/4이고, 120도에서는 (1−1/2)/2=1/4입니다. 각도를 180도로 나눠 밝은 비율을 2/3 또는 1/3로 읽으면 맞지 않아요.
이는 사진에 투영된 원판의 면적 비율이에요. 구 전체의 밝은 표면 비율은 계속 절반이며, 사진의 평균 밝기까지 이 비율로 계산하려면 표면 반사 성질 같은 별도 조건이 필요해요.
참고한 수학 개념: NASA · Ultraviolet Calibration Procedures for Gemini Experiment P-407.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.