가상 프로그램이 현재 카드 A 또는 B를 기록하며, 충분히 오래 실행했을 때 두 카드를 같은 비율로 남기려 해요. A에서는 매번 B로 바꾸자는 제안이 나와요. B에서는 공정한 동전으로 절반만 A를 제안하고, 나머지는 B에 머뭅니다. 모든 바꾸기 제안을 수락하면 반반이 될까요?
오래 유지되는 A, B의 기록 비율을 p, q라고 하고 p+q=1로 둬요. 한 단계에 A에서 B로 넘어가는 비율은 p이고, B에서 A로 돌아오는 비율은 q/2입니다. 두 이동량이 같아야 비율이 유지돼요.
따라서 p=1/3, q=2/3입니다. 목표를 같게 정했다는 사실만으로 제안 방식의 비대칭이 사라지지 않아요.
이를 보정하려면 A에서 B로 가자는 제안을 동전으로 절반만 수락하고, 나머지는 A에 머물게 해요. B에서 A로 가자는 제안은 전부 수락해요. 이제 실제 바꾸기 확률이 양방향 모두 1/2가 돼요.
이 작은 모형에서는 한 단계 후부터 기록 확률도 반반이에요. 바꾸지 않은 차례 역시 기록해야 이 계산과 맞아요. 무작위 제안으로 자료를 고를 때는 목표의 균등함뿐 아니라 제안이 각 방향에서 얼마나 자주 생기는지도 확인해야 해요.
참고한 수학 개념: AMS · Decoding, Gerrymanders, and Markov Chains.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.