가상 센서의 실제 관계는 y=βx입니다. x, y는 정해진 기준으로 나눈 단위 없는 숫자이고 β는 알아내려는 기울기예요. x=−1에서는 오차 ε₋가 −1, 1 중 하나, x=1에서는 ε₊가 −3, 3 중 하나로 반반 나와요. 두 오차는 서로 독립이에요.
두 측정점을 잇는 직선의 기울기를 β̂라고 씁시다. 두 x좌표 차이가 2이므로, 측정 기록 y₋=−β+ε₋와 y₊=β+ε₊를 빼면 다음 식이에요.
오차 네 조합은 똑같이 가능하고, 기울기 오차는 −1, 2, −2, 1입니다. 그 평균은 0이므로 β̂의 평균은 β입니다. 두 위치의 오차폭이 달라도 한쪽으로 치우치는 편향은 없어요.
다만 매번 추정값이 흔들리는 정도는 별개예요. 평균0인 오차의 분산은 제곱의 평균이며, 독립이므로 차이의 분산에 두 분산을 더해요.
양쪽 오차가 모두 ±1이었다면 이 분산은 0.5입니다. 평균은 맞지만 훨씬 더 흔들리는 추정이 될 수 있어요. 이 모형은 오차 평균0, 독립과 고정 입력을 정확히 정한 경우예요. 오차가 입력에 따라 체계적으로 양수나 음수가 되는 경우까지 같은 결론으로 넓히면 안 돼요.
참고한 수학 개념: AMS · The Origins of Ordinary Least Squares Assumptions.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.