가상 센서의 입력 x를 −2, −1, 0, 1, 2로 바꿔 기록했어요. 단위 없는 출력 y는 차례로 4, 1, 0, 1, 4입니다. 다섯 기록을 같은 비중으로 볼 때, 직선 상관이 0이면 입력으로 출력을 예측할 수도 없을까요?
x의 평균은 0이고 y의 평균은 2입니다. 공분산은 각 기록의 평균으로부터 편차를 곱해 평균 낸 값이에요. 이 자료에서는 가운데를 기준으로 양쪽 항이 상쇄돼요.
x의 분산(값들이 평균에서 얼마나 흩어져 있는지 나타내는 양)은 2, y의 분산은 2.8로 모두 양수예요. 따라서 공분산을 두 표준편차의 곱으로 나눈 상관계수 역시 0입니다. 평균 출력 2를 직선으로 그린 것보다 입력 방향을 따라 한쪽으로 올라가거나 내려가는 직선은 더 잘 맞지 않아요.
그러나 다섯 기록에는 다른 정확한 규칙이 있어요.
이 규칙으로 x=−2부터 2까지 주어진 출력을 모두 맞춰요. 입력의 부호는 출력에서 사라지지만 크기는 제곱으로 연결돼요. 그러므로 상관0은 ‘선형으로 함께 늘고 줄지 않는다’는 뜻이지, 모든 관계나 예측 정보가 없다는 뜻은 아니에요. 가상 규칙을 명시한 예이며 새 입력에서도 실제 센서가 이대로 움직인다는 실험 결과는 아니에요.
참고한 수학 개념: AMS · What Makes a Plot Interesting?.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.