가상 경사로에서 질량이 같은 균질한 공과 얇은 고리를 정지 상태로 놓아요. 미끄러지지 않고 굴러 수직 높이 1m를 내려온 뒤 수평 출구를 떠납니다. 출구에서 바닥까지는 다시 1m이며 중력 가속도는 10m/s²입니다. 에너지 손실과 공기 저항은 없다고 정할게요. 두 물체의 착지 거리는 같을까요?
질량 m, 반지름 r, 관성 모멘트 I=κmr²로 쓰면 균질한 공은 κ=2/5, 얇은 고리는 κ=1입니다. 굴림 각속도는 v/r이므로 출구의 에너지는 다음과 같아요.
공은 v²=100/7, 고리는 v²=10입니다. 출발 위치 에너지는 같지만 회전 몫이 큰 고리는 중심이 앞으로 가는 속력이 더 작아요. 출구 뒤 회전은 수평 이동 에너지로 바뀌지 않는다고 정해요.
두 물체 모두 수평으로 떠나므로 낙하 시간은 √(2×1/10)=√0.2초예요. 수평 착지 거리의 제곱은 공이 (100/7)×0.2=20/7, 고리가 10×0.2=2입니다. 거리는 약 1.69m와 1.41m입니다.
고리의 거리와 공의 거리 비는 √(7/10), 약 0.837입니다. 질량이 같은지보다 에너지가 어느 운동에 나뉘는지를 봐야 해요. 높이만으로 착지 눈금을 정한 장치에 다른 회전 관성의 물체를 쓰면, 같은 눈금을 그대로 적용할 수 없는 이유가 드러나요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Gravity Powered Calculator.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.