물을 담은 가상 관에서 모래 입자가 내려가요. 짧은 관 구간의 각 수평 단면에서 입자가 20%, 물이 80%의 면적을 차지한다고 정해요. 둘은 부피를 줄이지 않고, 입자가 쌓이거나 전체 물 부피가 변하지 않는 이상적인 순간을 비교해요. 위쪽을 양의 방향으로 두었을 때 입자의 관 기준 평균 속도는 −4cm/s입니다.
관을 통과하는 전체 부피 흐름이 0이어도 각 성분이 멈췄다는 뜻은 아니에요. 단면적을 A cm², 물의 관 기준 평균 속도를 w cm/s라고 하면 입자와 물의 부피 흐름을 더해야 해요.
A>0이므로 나누면 −0.8+0.8w=0이고 w=1입니다. 입자가 아래로 움직이는 동안 물은 위로 1cm/s로 올라옵니다. 물의 속도까지 −4로 놓으면 전체 흐름이 −4A가 되어 부피 보존 조건과 충돌해요.
물을 따라가는 기준에서 입자의 속도는 −4−1=−5cm/s입니다. 관에서 보면 아래로 4cm/s지만, 위로 움직이는 물과는 초마다 5cm씩 벌어집니다. 두 기준의 속도는 같은 관측량이 아니에요.
이번 계산은 균일한 면적 비율과 각 성분 평균 속도를 사용한 한 순간의 부피 보존이에요. 실제 침강관에서 생기는 난류나 끝까지 가라앉는 시간을 예측한 값은 아니에요. 전체 흐름과 각 성분의 흐름, 관 기준과 물 기준을 나누어 읽어야 해요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Settling Column.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.