가상 장치의 가로 조절값 x와 세로 흔들림 y를 cm로 표시해요. 장치가 허용하는 위치는 원 x²+y²≤5 안쪽이며 경계도 포함해요. 세로 흔들림은 −1cm부터 1cm 사이 어느 값이든 가능하다고 정해요. ‘가능한 x범위’라는 말은 무엇을 뜻할까요?
먼저 허용 흔들림 중 적어도 하나에서 위치를 잡을 수 있으면 된다고 해 볼까요? y=0을 고르면 x²≤5인 모든 x가 가능하고, x²>5이면 y²를 더해도 원 안에 들어갈 수 없어요.
반면 장치를 미리 조절해 놓고 이후 어느 y가 생겨도 원 안에 남아야 한다면 조건이 달라져요. 허용 y²의 최댓값이 1이므로 가장 나쁜 흔들림을 넣어 검사해야 해요.
예를 들어 x=2.1cm는 y=0이면 x²+y²=4.41로 가능하지만, y=1cm이면 5.41이 되어 허용 원 밖이에요. 존재 가능한 범위에는 들어가도 모든 흔들림을 견디는 범위에는 들어가지 않아요.
평면의 허용 영역을 가로축에 비추어 얻는 범위는 ‘맞는 세로값이 있는가’를 답해요. 그 그림만으로 모든 세로값에서 안전하다고 읽으면 안 돼요. 같은 부등식도 ‘하나라도’와 ‘모두’ 중 어느 조건을 요구하는지 먼저 정해야 해요.
참고한 수학 개념: AMS · The Teddy-Lambkin Theorem.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.