가상 배치판에서 가로와 세로가 정수인 위치에만 핀을 꽂습니다. 간격은 1cm입니다. 반지름 1cm인 원 안에 넣을 수 있는 핀 자리를 세되, 원 둘레의 자리도 포함해요. 원을 옮겨도 넓이는 πcm²로 같으니 핀 수도 같을까요?
중심이 (0,0)이면 정수 좌표 (x,y)는 다음 조건을 만족해야 해요. 좌표의 숫자는 cm로 나타낸 값이에요.
가능한 점은 (0,0), (1,0), (−1,0), (0,1), (0,−1)로 5개예요. 중심점 하나와 둘레의 네 점을 모두 세어요. 가로·세로 중 절댓값이 2 이상이면 이미 원 밖이에요.
이제 원만 오른쪽과 위로 각각 0.5cm 옮겨 중심을 (0.5,0.5)로 만들어요. 고정된 핀 격자는 옮기지 않아요.
(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)은 왼쪽 값이 0.5여서 모두 안에 있어요. 이 네 점 밖의 정수점은 적어도 한 좌표 차의 절댓값이 1.5이고 다른 차도 0.5 이상이라 제곱합이 최소 2.5입니다. 따라서 총 4개예요. 넓이가 같은 원이어도 고정 격자에 대한 위치를 바꾸면 5개가 4개로 줄어들어요. 연속적인 넓이와 허용된 이산 자리 수를 같은 정보로 읽을 수는 없어요.
참고한 수학 개념: AMS · Another Look at Circles and Squares.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.