작은 금속 물건과 부피가 큰 포장용 물건을 여섯 개 보낸다고 해 볼까요? 상자는 두 개만 써요. 어떤 물건끼리 담든 배송의 기준 무게도 같을까요? 물건의 총무게와 총부피를 한 번씩 더하는 계산만으로는 상자별 기준을 놓칠 수 있어요.
DHL의 안내는 실제 무게와 부피로 계산한 무게를 상자마다 따로 비교하고, 큰 값을 각 상자의 기준으로 삼는다고 설명해요. 여기서는 그 비교 관점만 가져와요. 실제 요금이나 상자 치수를 쓰지 않고, 두 종류 물건에 수를 붙인 모형으로 질문을 만들어요.
A 물건은 실제 무게 항이 1, 부피에 대응하는 항이 ε입니다. B 물건은 반대로 ε와 1입니다. 0<ε<1로 정해요. 같은 항끼리는 단순히 더하며, 상자 안의 빈 공간이나 포장 모양은 계산하지 않아요. 두 항의 단위도 이 문제에서 정한 수일 뿐, 제품을 측정한 값이 아니에요.
한 상자에 A가 p개, B가 q개 있으면 큰 쪽을 골라 기준량을 정해요.
전체 기준량 S는 상자별 w를 더한 값이에요. 물건은 버리거나 쪼개지 않고 정확히 k개의 비어 있지 않은 상자에 나눠요. 상자 무게·실제 치수·포장 가능성·요금 반올림·최소요금은 현재 모형의 조건이 아니에요. 이 결과를 실제 배송비로 읽지는 않아요.
A와 B가 각각 세 개이고 ε=1/2인 예를 볼까요? 같은 여섯 물건과 같은 두 상자를 쓰지만 합계는 달라져요. 괄호는 한 상자의 (A 개수, B 개수)입니다.
| 두 상자에 나눈 개수 | 전체 기준량 |
|---|---|
| (1,1)과 (2,2) | 9/2 |
| (2,1)과 (1,2) | 5 |
| (3,1)과 (0,2) | 11/2 |
| (3,0)과 (0,3) | 6 |
첫 배치는 두 상자 모두 두 종류 수가 같아요. 마지막은 종류별로 완전히 나눴어요. 전체 물건의 구성은 같아도 각 상자에서 어느 항이 큰지가 달라진 거예요.
이제 가능한 값을 전부 구해 볼까요? A의 수 m과 B의 수 n은 0 이상의 정수이며 전체 수 N=m+n은 1 이상이에요. 상자 수 k는 1부터 N 사이의 정수예요. 한 상자의 두 항은 다음처럼 정리돼요.
앞의 εN은 배치를 바꿔도 같아요. 따라서 남은 정수 C만 분류하면 돼요. 각 상자의 최댓값을 더하면 A의 총수 m 이상, B의 총수 n 이상이에요. 비어 있지 않은 상자에서는 그 최댓값이 적어도 1이므로 C≥k입니다. 한 상자의 최댓값은 안에 든 전체 물건 수보다 크지 않아 C≤N입니다.
한 상자만 쓰면 C=max(m,n) 하나예요. 두 상자 이상이면 아래 정수들이 빠짐없이 가능해요.
S는 이 정수들을 εN+(1−ε)C에 넣은 값들이에요. 최솟값과 최댓값 사이의 실수를 모두 만들 수 있다는 뜻은 아니에요. 이 예에서는 간격이 1/2인 네 값만 가능해요.
왜 중간 정수에 빈칸이 없을까요? 원하는 C에 대해 M=N−C개의 A·B 짝을 먼저 만들어요. M≤min(m,n)이므로 양쪽 물건 수가 부족하지 않아요. 짝은 두 물건을 함께 옮기는 하나의 블록으로 보고, 남은 물건은 하나짜리 블록으로 둬요. 전체 블록 수는 C개예요.
한 상자에 짝 블록과 남은 A만 넣거나, 짝 블록과 남은 B만 넣으면 그 상자의 min(p,q)는 짝 블록 수와 같아요. 반대 종류의 남은 물건들을 같은 상자에 넣지 않는 것이 중요해요.
남은 A와 B가 모두 있으면 짝과 A를 한쪽, B를 다른 쪽에 둬요. 한 종류만 남고 짝도 있으면 짝과 남은 물건을 따로 둬요. 짝만 있거나 한 종류 물건만 있는 경우에도 블록이 C≥k≥2개라 두 상자로 나눌 수 있어요.
이렇게 시작한 두 상자에서 블록 하나씩을 통째로 떼어 새 상자를 만들어 봐요. C개의 블록이 있으므로 정확히 k개까지 상자를 늘릴 수 있어요. 짝 안의 두 물건은 떼지 않아요. 각 상자의 작은 쪽 개수를 더한 값이 계속 M이어서, 큰 쪽 개수의 합은 N−M=C로 유지돼요. 이 구성은 정수 한 값마다 실제 배치를 줘요.
최소 기준량을 만드는 배치도 하나만 있을 필요는 없어요. 더 많은 종류가 A이고 m≥k라면, 각 상자에서 A 수가 B 수 이상일 때 최소예요. B가 더 많을 때는 반대예요. 두 종류의 총수가 같고 상자가 그 수 이하이면, 모든 최소 상자 안에서 두 종류 수가 같아야 해요.
반대로 상자 수 k가 m과 n 각각보다 크거나 같으면, 최소 배치의 각 상자에는 A 하나, B 하나, 또는 하나씩만 들어가요. 어느 상자든 max(p,q)가 1이어야 C=k가 되기 때문이에요. 경계에서 조건이 겹치더라도 서로 모순되지 않아요.
앞의 세 개씩인 예에서 상자를 네 개로 늘리면 최소가 9/2에서 5로 오른다. A·B 짝 두 상자와 A 하나·B 하나의 상자 두 개가 그 값을 만들어요. 한 상자 기준량과 k개 상자의 최소 차이는 정확히 다음과 같아요.
상자를 늘릴 때마다 최소가 바로 커지는 것은 아니에요. 상자 수가 더 많은 종류의 개수를 넘을 때부터 이 모형에서는 증가가 강제돼요.
두 상자 이상에서 최대 기준량은 N입니다. 두 종류가 한 상자에 섞이지 않을 때, 그리고 그때만 최대예요. 전체 기준량이 배치와 상관없이 하나로 정해지는 경우도 있어요. 상자가 하나뿐이거나, 물건이 한 종류뿐이거나, 물건마다 상자를 하나씩 쓰는 k=N일 때예요. 그 밖에는 적어도 두 값이 실제로 가능해요.
교사는 총무게와 총부피를 먼저 비교한 답 옆에 상자별 두 항을 적게 해요. 이어 한 배치의 값, 최소값, 가능한 모든 값, 모든 최소 배치가 각각 다른 질문임을 확인해요. 제공 교재의 치역은 이렇게 실제로 나오는 값들의 집합을 부르는 용어이며, 배송이나 정수 배치의 정리를 제공한 것은 아니에요.
착안: DHL Express product team, Weight and Dimensions, 2023년 11월 21일. 상자마다 실제 무게와 부피 무게를 따로 비교하는 배경만 참고했어요. 두 종류의 수·더하기 가정·상자 배치·모든 가능값과 최소 조건은 자체 교육용 구성이에요. 원문 제품 사진·예시 수치·현재 요금·서비스 제한을 옮기지 않았어요.