둘레 실을 끊어도, 모든 점에서 가운데로 갈 수 있을까요?

아침에 거미줄을 보면 가운데로 뻗은 실과 그 사이를 도는 나선이 보여요. British Arachnological Society의 설명은 중심과 방사실을 만든 뒤 나선을 놓는 과정을 구별해요. 이 모습에서 가운데로 돌아갈 길을 떠올려 볼까요?

실의 개수가 같으면 가운데까지 이어지는 길도 비슷할까요? 실제 거미줄의 강도를 계산하는 대신, 닫힌 둘레 하나와 가운데로 향하는 실만 있는 자체 연결 그림을 만들어요. 원문의 나선을 한 원으로 재현했다는 뜻은 아니에요.

바깥 점 여섯 개를 0~5 번으로 붙이고 이웃한 점을 이어 닫힌 둘레를 만들어요. 가운데와 이어진 점은 세 개예요. A는 0·2·4 번이라 고르게 놓였고, B는 0·1·2 번이라 한쪽에 모였어요. 둘레의 여섯 조각 중 두 조각만 끊어요. 가운데로 향하는 실은 그대로 남아요.

성공은 모든 바깥 점이 남은 길을 따라 가운데까지 갈 수 있는 경우예요. 같은 길을 다시 지나도 돼요. 실의 길이·굵기·접촉·탄성은 보지 않아요. 두 조각을 고르는 15 가지 집합은 모두 같은 확률이라고 정해요. 먼저 끊는 순서는 새 경우로 세지 않아요.

가운데와 이어진 점 사이의 둘레를 구간으로 나눠 볼게요. A의 세 구간은 조각 수가 2·2·2 개이고, B는 1·1·4 개예요. 어느 구간 안에서든 두 곳이 끊기면 그 사이의 점은 가운데로 갈 길을 잃어요. 두 조각을 서로 다른 구간에서 끊어야 성공해요.

가운데로 이어진 점	구간의 조각 수	성공 집합 수	성공 확률
A: 0·2·4 번	2·2·2	4+4+4=12	4/5
B: 0·1·2 번	1·1·4	1+4+4=9	3/5

A에서는 끊을 두 구간을 정하면 각 구간의 두 조각 중 하나씩 골라 4 가지예요. 구간 쌍이 세 가지라 12 가지가 돼요. 실패도 세 가지 남아요. 같은 구간의 두 조각을 함께 끊으면 돼요. 따라서 고른 배치가 더 유리하다는 말과 어느 곳이 끊겨도 성공한다는 말은 달라요.

한 곳만 끊으면 결과가 바뀌어요. 둘레가 닫힌 원에서 하나의 길로 바뀔 뿐, 여섯 점은 여전히 서로 이어져 있어요. 가운데로 향하는 실이 하나라도 남아 있으면 전부 가운데까지 갈 수 있어요. A와 B는 모두 성공해요. 남은 실의 위치가 중요해지는 조건도 함께 봐야 해요.

바깥 점을 n 개로 늘리자. n 은 3 이상의 정수예요. 가운데로 이어진 점은 k 개이며 위치는 고정해요. 둘레에서 서로 다른 m 조각을 끊어요. n·k·m 을 정할 때마다 가능한 모든 m 조각 집합을 같은 확률로 고르는 자체 모형이에요.

k=0 이면 가운데로 향하는 길이 하나도 없어, 아무 곳도 끊지 않아도 실패예요. k≥1 일 때만 구간을 정의해요. 가운데로 이어진 점에서 다음 그런 점까지 시계 방향으로 가는 둘레 조각 수를 d₁,…,dₖ 라 해 볼까요? 각 수는 양의 정수이고 합은 n 입니다. k=1 이면 한 점에서 출발해 다시 그 점으로 돌아오는 둘레 전체가 한 구간이고 d₁=n 입니다.

성공의 필요충분조건은 각 구간에서 끊는 조각이 최대 하나인 거예요. 한 구간의 두 끊긴 조각 사이에는 가운데와 직접 이어지지 않은 점이 남고 양쪽 길이 막혀요. 이웃한 두 조각을 끊어도 그 사이의 점 하나가 고립된다. 반대로 한 구간이 최대 한 곳만 끊기면, 구간 안의 각 점은 끊긴 곳을 피하는 쪽으로 움직여 양 끝 중 하나에 닿아요. 그 끝은 가운데와 직접 이어져 있어요.

따라서 성공 집합은 서로 다른 m 구간을 고른 뒤, 각 구간에서 한 조각씩 고른 것 전부예요. 선택한 구간의 조각 수들을 곱하고, 모든 구간 선택에 대해 더해요. 이 합을 F_m 이라 쓸게요.

\begin{gathered} F_m(d_1,\ldots,d_k) =\sum_{\substack{I\subseteq\{1,\ldots,k\}\\|I|=m}}\prod_{i\in I}d_i,\\ P_m=\frac{F_m}{\binom nm}\qquad(k\ge1). \end{gathered}

빈 선택의 곱은 1 로 정하므로 m=0 일 때 F₀=1 입니다. m>k 이면 서로 다른 m 구간을 고를 수 없어 F_m=0 입니다. m=1 일 때는 F₁=d₁+⋯+dₖ=n 입니다. 어떤 위치에 k 개를 남겨도 성공 확률이 1 이며, 고른 배치만 유일하게 유리하다고 할 수 없어요. 기호 e_m 은 이처럼 m 개를 골라 곱한 값들을 더하는 알려진 다항식 표기예요.

이제 2≤m≤k 일 때 모든 유리한·불리한 배치를 구해 볼까요? 둘레 점 수 n 과 가운데 연결 수 k 가 같으면 확률의 분모도 같아 성공 가짓수만 비교하면 돼요. 구간 길이 두 개를 a,b 라 하고 나머지 길이 목록을 O 라 해 볼까요? 선택에 두 길이가 모두 들어가는지, 하나만 들어가는지, 둘 다 빠지는지 나누면 다음 식이 나와요. 아래 Δ는 a≥b+2 일 때 큰 구간에서 작은 구간으로 한 조각을 옮겨 생기는 증가량이에요.

\begin{gathered} e_m(a,b,O)=ab\,e_{m-2}(O)\\ \quad +(a+b)e_{m-1}(O)+e_m(O),\\ \Delta_{\rm balance}=(a-b-1)e_{m-2}(O)>0,\\ \qquad(a\ge b+2,\ 2\le m\le k). \end{gathered}

여기서 e₀(O)=1 이며, 고를 수 없는 개수의 e 값은 0 입니다. 2≤m≤k 이므로 e_(m−2)(O)>0 입니다. 나머지 k−2 구간에서 m−2 개를 고를 수 있고, 모든 길이가 양수이기 때문이에요.

a≥b+2 이면 큰 구간의 조각 하나를 작은 구간으로 옮기는 a−1,b+1 로 바꿀 수 있어요. 합은 유지되고 ab 는 a−b−1 만큼 늘어나요. 위 식에 의해 성공 가짓수가 엄격히 늘어나요. 이런 옮김을 반복하면 길이들의 차이가 1 이하인 배치에 도달해요. 길이 제곱의 합이 매번 줄어 유한 번 안에 끝나요. 처음부터 길이 차이가 1 이하인 배치들은 길이 목록이 같아 같은 값을 줘요. 그러므로 그런 배치 전체가 최대이고, 다른 배치는 최대가 아니에요.

최소는 반대로 구해요. 두 구간이 모두 2 이상이고 a≥b 라면 a+1,b−1 로 바꿔요. ab 가 a−b+1 만큼 줄어 성공 가짓수도 엄격히 줄어들어요. 한 구간만 길어질 때까지 반복할 수 있어요. 따라서 최소인 길이 목록은 n−k+1,1,…,1 뿐이에요. 가운데로 이어진 k 개 점을 둘레에 연속해서 모아 놓은 배치예요.

정수 n 을 k 로 나누어 n=qk+s, 0≤s<k 라 쓸게요. 최대 배치에서는 길이 q 인 구간이 k−s 개, q+1 인 구간이 s 개예요. [z^m]은 다항식을 전개했을 때 z^m 의 계수를 뜻해요.

\begin{gathered} n=qk+s,\qquad 0\le s<k,\\ F_{\max}=[z^m](1+qz)^{k-s}(1+(q+1)z)^s,\\ F_{\min}=\binom{k-1}{m} +(n-k+1)\binom{k-1}{m-1}. \end{gathered}

최소 식의 첫 항은 길이 1 인 구간에서만 m 개를 고른 경우예요. 둘째 항은 긴 구간에서 한 조각을 고르고, 길이 1 인 나머지에서 m−1 개를 고른 경우예요. 선택 개수가 범위를 벗어난 조합 값은 0 으로 정해요. 실제 위치도 항상 만들 수 있어요. 한 점을 0 번에 놓고 원하는 양의 구간 길이만큼 차례로 이동하면, 합이 n 이어서 원을 정확히 닫는다.

번호가 있는 둘레에서 최적 배치는 몇 개인가? 최대 배치는 가운데로 이어진 점 하나를 표시해 세면, 표시 위치 n 가지와 긴 구간 s 개의 위치 선택이 있어요. 실제 한 배치는 표시할 점이 k 개라 표시를 지울 때 k 로 나눠요. 주기적으로 같은 모양이어도 표시는 k 개예요. 둘레의 회전을 같은 배치로 보는 계산은 아니에요.

최소 배치에서 k<n 이면 긴 구간이 하나뿐이에요. 그 바로 다음 점부터 k 개를 연속으로 잇는 시작점이 n 가지예요. k=n 이면 모든 바깥 점을 가운데와 이은 배치 하나뿐이에요.

\begin{gathered} N_{\max}=\frac nk\binom ks,\\ N_{\min}=\begin{cases}n,&k<n,\\1,&k=n,\end{cases} \qquad (2\le m\le k). \end{gathered}

이 배치 수는 2≤m≤k 에 적용해요. m=0·1 또는 m>k 에서는 앞서 가짓수가 같았으므로 k 개를 남기는 모든 조합이 최대이자 최소예요. k=0 도 그 하나의 배치가 전부 실패하는 별도 경우예요. n=k+1 이면 구간 중 하나만 2 이고 나머지는 1 이라, 모든 배치가 동시에 최대·최소가 돼요.

처음의 n=6,k=3,m=2 에서는 최대 배치가 0·2·4 와 1·3·5 의 두 가지이고, 최소는 연속한 세 점을 고른 여섯 가지예요. 두 배치를 예로 보여 주는 것에서 나아가, 다른 최적 배치가 빠지지 않았는지까지 확인했어요.

마지막으로 어느 위치가 끊겨도 성공하는 조건을 볼까요? k≥1 이고 m=0·1 이면 앞서 전부 성공했어요. k=n 이면 모든 바깥 점이 가운데와 직접 이어져 있어 둘레가 전부 끊겨도 성공해요. 그 밖에 0<k<n,m≥2 라면 가운데와 직접 이어지지 않은 점 하나를 골라요. 그 점 양쪽의 둘레 조각을 끊으면 고립된다. 끊는 수를 더 늘려도 고립된 점의 길이 다시 생기지 않아요.

\begin{gathered} \text{모든 절단 집합에서 중심까지 연결}\\ \iff k\ge1\ \text{이고}\ (m\le1\ \text{또는}\ k=n). \end{gathered}

고른 배치의 성공 확률을 높이는 문제와 모든 절단에서 성공하는 문제는 답이 달라요. 한 곳만 끊는 경우에는 위치 차이가 없고, 두 곳 이상 끊는 경우에는 구간 길이가 결과를 바꿔요. 성공의 기준과 끊는 수를 먼저 정해야 ‘고르게’라는 말을 판단할 수 있어요.

제공 교재의 곱의 법칙은 구간마다 한 조각을 고르는 가짓수에, 조합은 순서 없는 절단 집합을 세는 데 써요. 연결 조건과 모든 최적 배치의 분류는 그 페이지에 실린 정리라고 주장하지 않아요. 그래프의 연결성·대칭다항식·균등화는 알려진 도구이며, 새 학술 정리로 소개하지 않아요.

교사는 성공 사례 옆에 가운데까지 실제로 갈 수 있는 길을 적게 해요. 실패 사례에는 고립되는 점을 표시하게 해요. 이 그림은 실의 연결만 정한 교육용 모형이에요. 실제 거미줄의 나선 수·실의 강도·진동 전달·먹이 포획이나 자연에서 끊길 확률을 계산한 결과는 아니에요.

착안: British Arachnological Society, Orb Web Construction의 전체 의미 본문에서 중심·방사실·나선을 만드는 구분을 읽었어요. 원문 사진이나 제작 과정을 옮기지 않고, 번호가 있는 한 둘레와 가운데 연결·절단 규칙·예시·전범위 증명을 자체 구성했어요.

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