종이에 점 하나를 찍으면 접는 선도 하나로 정해질까요? 아래쪽의 같은 표시점을 지나는 선으로 한 모서리를 위쪽에 보낸다고 정해도, 가능한 접기가 둘일 수 있어요. 접히는 재료의 넓이까지 달라져요.
가로 10, 세로 3 인 직사각형에서 왼쪽 아래 모서리를 P 라 해 볼까요? 아래쪽 변에서 오른쪽으로 5 떨어진 곳에 Q 를 찍어요. Q 를 지나는 직선으로 한 번 접어 P 를 위쪽 변에 보내요. 위쪽 변의 왼쪽 끝에서 1 떨어진 점과 9 떨어진 점이 각각 목표가 될 수 있어요.
접는 선의 양쪽 중 P 가 있는 쪽을 뒤집어요. 이쪽에 있던 종이의 넓이를 옮기는 재료 넓이라고 해 볼까요? 접은 뒤 두 겹으로 보이는 넓이나 종이가 덮는 전체 면적과는 구별해요. 종이는 두께가 없다고 보고, 접힌 다른 부분이 원래 사각형 밖으로 나가도 허용해요. 두 접기의 모양은 다음처럼 달라요.
| 모서리가 도착하는 위치 | 움직이는 쪽의 모양 | 재료 넓이 |
|---|---|---|
| 위쪽 왼쪽 끝에서 1 | 밑변 5, 높이 5/3 인 삼각형 | 25/6 |
| 위쪽 왼쪽 끝에서 9 | 아래 폭 5, 위 폭 4, 높이 3 인 사다리꼴 | 27/2 |
좌표를 왼쪽 아래에서 재면 첫 접는 선은 X+3Y=5, 둘째는 9X+3Y=45 입니다. 두 선 모두 표시점 (5,0)을 지나요. 목표점도 모두 위쪽 변 안에 있어요. 같은 표시점이라는 조건만으로 접히는 넓이가 정해지지는 않아요.
종이의 가로만 6 으로 줄이면 두 번째 목표는 종이 밖이에요. 무한히 이어지는 위쪽 직선 위에는 있어도, 종이의 위쪽 변에는 없어요. 그러면 첫 접기만 남아요. 목표가 ‘선 위’인지 ‘종이의 변 위’인지가 실제 선택지를 바꿔요.
가로 w, 세로 h 를 모두 양수로 두고 모든 경우를 볼까요? 왼쪽 아래 P=(0,0), 표시점 Q=(q,0), 목표점 P′=(x,h)입니다. 표시점은 아래쪽 변에 있으므로 0≤q≤w 이고, 목표점은 위쪽 변에 있어야 하므로 0≤x≤w 입니다. 변의 양 끝도 포함해요.
접는 선 위의 Q 는 움직이지 않아요. 반사는 거리를 유지하므로 Q 에서 P 와 P′까지의 거리가 같아야 해요. q<h 이면 세로 높이만으로도 목표까지의 거리가 q 보다 커져 불가능해요. q≥h 일 때만 다음 식의 후보가 생겨요. X,Y 는 접는 선 위의 일반적인 좌표예요.
후보 목표점이 정해지면 접는 선도 하나로 정해져요. P 와 P′를 잇는 선분의 수직이등분선이에요. 두 점의 중점이 위 식의 직선 위에 놓이고, 직선의 법선 방향은 (x,h)이므로 실제로 P 를 P′로 보내요. 이 확인으로 거리 조건이 필요할 뿐 아니라 충분하다는 것도 알 수 있어요.
q=h 이면 두 식의 목표가 x=h 로 겹쳐 접는 선은 하나예요. q>h 이면 x₋,x₊가 서로 다른 목표이고, 각각 다른 접는 선을 줘요. 단, 후보가 종이 밖이면 버려야 해요.
w<h 이면 q≤w<h 이므로 가능한 접기가 아예 없어요. w≥h 일 때 가까운 목표 x₋는 항상 위쪽 변 안이에요. x₋=h²/(q+s)≤h≤w 이기 때문이에요. 먼 목표 x₊가 위쪽 변 안에 있는 조건은 q≤T 입니다. 가능한 접는 선의 수 N(q)는 다음과 같아요.
여기서 h≤T≤w 입니다. q=T 일 때 먼 목표는 위쪽 오른쪽 모서리 x=w 에 닿으며, 변의 끝을 허용했으므로 접기 하나를 버리지 않아요. w=h 이면 q=h=w 인 한 접기만 남고 두 후보가 겹쳐요. q=0 은 P 가 접는 선 위라 움직이지 못하므로 불가능해요.
넓이도 모든 후보에서 구할 수 있어요. 가까운 목표로 보내는 선은 왼쪽 변의 높이 qx₋/h 에 닿아요. 이 높이가 h 이하여서 움직이는 종이는 삼각형이에요. 먼 목표에서는 왼쪽 변과 만날 높이가 h 보다 커져요. 선은 위쪽 변의 x=s 에 닿고, 움직이는 종이는 아래 폭 q, 위 폭 s, 높이 h 인 사다리꼴이에요. q=h 에서는 두 설명이 같은 삼각형을 가리켜요.
F₋,F₊는 각각 가까운·먼 목표로 접는 재료 넓이예요. 먼 접기가 실제로 가능한 경우에만 F₊를 써요. q>h 에서 비율이 1 보다 크므로 같은 점을 지나는 두 접기는 반드시 넓이가 달라요. 두 목표가 겹치는 q=h 에서만 같아요.
가장 적게 접으려면 어느 표시점을 골라야 할까요? q>h 인 먼 목표의 넓이는 q 가 늘수록 엄격히 커지고 h²/2 보다 커요. 반면 w>h 이면 가까운 목표의 넓이는 q=h 에서 조금만 오른쪽으로 옮겨도 h²/2 보다 작아져요. 따라서 최소 접기는 가까운 목표 쪽에 있어요.
가까운 넓이는 q>h 에서 미분하여 증가·감소를 확인할 수 있어요. 다음 비율은 2√(q²−h²)−q 의 부호와 같아서, 2h/√3 까지 감소하고 그 뒤 증가해요. q=h 에서는 미분식의 분모가 0 이지만 넓이 자체는 연속이에요.
가능한 q 는 h 부터 w 까지라 최소 넓이를 주는 표시점 q₀는 위 식이에요. w 가 2h/√3 보다 짧으면 오른쪽 끝 q=w 까지 계속 작아져요. 더 넓은 종이에서는 2h/√3 에서 멈춰요. 최소 넓이는 다음과 같고, 경계에서 두 표현은 같은 값이에요.
최소 접는 선은 항상 하나예요. w=h 에서는 유일한 접기 자체가 최소이고, w>h 에서는 가까운 넓이의 엄격한 감소·증가와 먼 넓이의 엄격한 비교로 다른 최소 접기를 배제했어요. 작은 값을 한 번 찾는 것과 모든 최소 접기를 찾는 일을 구분한 거예요.
그러나 최소 넓이를 주는 표시점이 항상 최소 접는 선을 지정하지는 않아요. w≥2h/√3 일 때 q₀의 두 후보 목표를 적으면 다음과 같아요. 먼 후보가 종이 안에 들어오는 기준은 w≥√3h 입니다.
이때 먼 목표로 접으면 최소의 9/4 배 넓이가 움직여요. w=√3h 에서도 목표가 위쪽 오른쪽 모서리이므로 이 두 번째 접기는 허용돼요. 반면 h≤w<√3h 에서는 최적 표시점을 지나는 허용 접기가 하나뿐이어서 표시점이 최소 접기를 정해요.
따라서 두 기준은 달라요. 가로가 2h/√3 에 이르면 최소 표시점이 오른쪽 끝에서 벗어나기 시작해요. 가로가 √3h 에 이르면 그 같은 표시점에서 덜 유리한 다른 접기까지 가능해진다. 세로 3, 가로 10 인 첫 예에서는 최적 표시점이 2√3 이고, 두 접기의 넓이는 2√3 과 9√3/2 입니다.
가장 많이 움직이는 접기도 빠짐없이 찾을 수 있어요. 먼 목표의 넓이는 q 와 함께 늘다가 q=T, 목표 x=w 에서 종이 전체의 절반이 돼요. 가까운 넓이는 한 번 내려갔다가 올라가므로 가장 큰 값이 양 끝 중 하나인데, w>h 에서는 둘 다 절반보다 작아요. 따라서 최대 접는 선도 하나이며, P 를 대각선 건너편 모서리로 보내는 선이에요.
위 식은 w≥h 에 적용해요. 가까운 접기들의 넓이는 최소에서 h²/2 까지 연속으로 이어지고, 먼 접기들은 h²/2 에서 wh/2 까지를 채워요. 그래서 그 사이의 어떤 넓이도 빠지지 않아요. w=h 에서는 한 값만 남고, w<h 에서는 접는 선과 가능한 넓이가 모두 없어요.
표시점, 목표점, 실제 접는 선을 각각 표시해 볼까요? 두 후보를 얻으면 먼저 유한한 종이의 변 안에 있는지 확인해요. 그다음 움직이는 종이의 원래 모양을 삼각형인지 사다리꼴인지 나누어 그려요. 점 하나를 잘 골랐다는 사실과 그 점에서 어느 선으로 접을지를 정했다는 사실은 달라요.
제공 교재에서는 두 점의 거리, 중점, 부등식의 기본 문맥을 사용했어요. 모든 접기와 넓이의 분류, 미분을 이용한 극값, 두 가로 길이 기준은 그 페이지에 실린 결과로 소개하지 않아요. 반사·수직이등분선·미분·접기 넓이의 고전 도구를 새 학술 정리로 주장하지도 않아요.
이상적인 한 번 접기 모형의 결과예요. 실제 종이의 두께·재질·접는 힘·오차나 작업 성공률을 측정한 결과는 아니에요. 사진이 있더라도 정확한 목표 위치나 최적 접기를 재현한 실험 증거로 쓰지 않아요.
착안: British Origami Society, Valley & Mountain Folds의 전체 선택 의미 본문에서 선을 따라 접어 가장자리를 맞추고 모서리를 표시점에 보내는 설명을 읽었어요. 원문의 도판과 접기 지시를 옮기지 않고, 직사각형·유한한 목표 변·움직이는 재료 넓이·예시와 전체 경우의 증명을 자체 구성했어요.