지도를 두 배로 확대 복사했더니 같은 두 지점 사이가 4 cm가 되었어요. 지도에 남은 ‘1:50,000’을 보고 학생은 2 km라고 답했어요. 종이가 커졌다고 두 지점이 멀어진 것일까요?
이 사례의 원본은 일정한 축척 1:50,000인 평면 지도예요. 두 지점 사이의 선분은 2 cm이며, ‘1 km’라고 적힌 축척 막대도 2 cm입니다. 지도와 막대를 함께 가로·세로 길이 각각 두 배로 복사하고, 글자의 숫자는 고치지 않았어요. 종이의 찌그러짐과 실제 지형의 높이는 다루지 않아요.
원본의 2 cm는 땅 위 1 km입니다. 확대본에서는 같은 선분과 막대가 모두 4 cm입니다. 선분은 막대 하나와 같으므로 답은 여전히 1 km입니다. 확대본의 올바른 숫자 축척은 1:25,000입니다. 4 cm에 50,000을 곱한 계산 자체보다, 복사 후에도 옛 축척을 써도 된다고 본 조건이 잘못됐어요.
이제 지도는 그대로 두고 막대만 원본 크기인 2 cm로 바꿔 붙여 볼까요? 이 막대를 믿으면 다시 2 km가 나와요. 함께 확대했을 때와 달리 막대의 길이와 ‘1 km’ 표시는 더 이상 맞지 않아요.
축척을 비례식으로 연결해 봐요. 원본 지도 길이를 l, 실제 길이를 L이라 쓰고 같은 cm 단위를 쓰면 입니다. 복사 후 길이는 이므로
따라서 확대본의 4 cm는 cm, 즉 1 km입니다. 함께 커진 막대와 선분의 비도 로 유지돼요. 막대만 원래 길이로 바꾸면 비가 가 되어 잘못된 2 km를 읽게 돼요. 보존되는 것은 표시 숫자 자체가 아니라 같은 확대를 거친 두 길이의 비예요.
답을 고치기 전에 ‘지도, 숫자 표기, 막대 중 무엇이 함께 커졌나?’를 확인해 봐요. 막대 축척이 언제나 옳다고 외우기보다, 같은 복사 과정을 거쳤는지 확인해 봐요.
착안: National Library of Wales, Map scales. 원문의 숫자·막대·말로 나타내는 축척 구분을 읽고, 확대 복사와 막대 교체 사례를 자체 구성했어요. 원전 지도·사진·표의 화면은 사용하지 않았어요.