각 실을 두 번 위로, 두 번 아래로 엮으면 반드시 사선 무늬가 될까요? 실 네 가닥씩을 그린 작은 종이 도안으로 확인해 볼까요?
세로실 네 가닥과 가로실 네 가닥의 교차점이에요. ■는 세로실이 가로실 위, □는 아래를 지난다는 뜻이에요. 이 네 칸 무늬를 좌우·위아래로 계속 반복한다고 정해요.
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학생이 “세로실마다 위 두 번·아래 두 번이니 능직의 사선이 나올 것”이라 말했다고 해 볼까요? 먼저 세로실 하나를 손가락으로 따라가 볼까요? 두 번씩 지나가는 관찰은 맞아요. 그러나 첫째·둘째 세로실이 똑같이 움직이고, 셋째·넷째도 한 쌍이에요. 가로실 역시 두 가닥씩 묶여 작은 블록을 만들어요. 이는 두 가닥씩 함께 엮는 바구니짜임의 구조예요.
첫 가로줄은 그대로 두고, 다음 줄들은 첫 줄의 반복 무늬를 오른쪽으로 한 칸·두 칸·세 칸 옮겨 직접 그려 볼까요? 네 칸 창에서 새 끝칸은 옆 반복 무늬에서 가져와요. 실제 위치를 옮기면 □■■□·□□■■·■□□■를 얻어요.
이제 인접한 세로실의 시작 위치가 한 칸씩 달라져 사선이 이어져요. 각 실의 위·아래 횟수는 여전히 두 번씩이에요. 교사는 횟수만 확인한 답을 지우지 않고, “옆 실도 같은 곳에서 시작하니?”를 물어 도안 구성을 고치게 해요. 실제 직물의 강도나 촉감은 이 종이 도안만으로 판단하지 않아요.
이 도안의 수학은 칸의 개수와 위치의 이동을 함께 보는 데 있어요. ■를 1, □를 0으로 적으면 첫 줄은 (1,1,0,0)이고 합은 2입니다. 오른쪽 한 칸 평행이동은 가로 위치 x를 x+1로 바꿔요. 네 칸마다 반복되므로 창 밖으로 나간 부분은 옆 반복 무늬로 이어지고, 새로 들어온 칸도 그 반복에서 가져와요. 첫 줄에서 0·1·2·3칸 옮긴 네 줄을 b₀·b₁·b₂·b₃으로 쓰면 다음과 같아요.
네 줄의 합은 각각 2이므로 위를 지나는 교차점은 모두 2+2+2+2=8개예요. 원래 도안도 이 개수는 같아요. 차이는 이동량이에요. 원래 줄들은 0·0·2·2칸씩 옮긴 위치여서 같은 줄이 둘씩 붙고, 고친 줄들은 0·1·2·3칸씩 이동해 한 칸의 어긋남이 계속된다. 같은 합만으로 사선 배열을 판단할 수 없는 이유예요.
착안: CottonWorks, Basic Woven Fabric Designs. 바구니짜임과 능직의 기본 교차 규칙을 참고해 작은 반복 도안과 구성 질문을 새로 적었어요. 원본 그림·사진은 옮기지 않았어요.