정육면체 네 개로 구슬 모형을 만들어요. 일자로 네 개를 잇거나, 가로 두 개·세로 두 개의 납작한 네모로 붙일 수 있어요. 구슬 20개를 준비했다면 어느 배치에서 몇 개가 남을까요?
IUCr의 결정학 안내는 같은 단위 칸을 나란히 반복하고 꼭짓점에 격자점을 두는 경우를 설명해요. 여기서는 같은 방향의 작은 정육면체 네 개를 면끼리 붙이는 자체 모형을 써요. 각 작은 정육면체의 꼭짓점에만 구슬을 놓고, 겹친 자리는 하나로 합쳐요. 바깥 경계도 세며 막대 수는 제외해요.
일자 배치 A의 한 층에는 긴 방향 다섯 자리와 짧은 방향 두 자리가 있어요. 위아래 두 층을 세면 20개예요. 네모 배치 B는 한 층이 세 자리씩인 아홉 점이므로 두 층에 18개예요. N은 배치별로 필요한 서로 다른 구슬 자리의 수예요.
네모 배치를 “각각 여덟 꼭짓점, 공유한 면 네 개에서 네 점씩 빼기”로 계산하면 32−16=16이 돼요. 가운데 세로 모서리의 위아래 두 점을 살펴봐요. 각 점은 정육면체 네 개에 속하지만 공유면 네 개에서도 모두 빠져, 한 번도 세어지지 않았어요. 두 점을 하나씩 돌려놓아야 해요.
따라서 일자는 남는 구슬이 없고, 네모는 두 개가 남아요. 구슬이 18개뿐이라면 주어진 두 배치 중 네모만 완성할 수 있어요. 층별 점을 직접 표시한 도안으로 재료 목록을 확인해 볼까요? 실제 원자 수나 모든 배치의 최소량을 구한 결과는 아니에요.
착안: Dauter·Jaskolski, IUCr 결정학 입문. 알려진 단위 칸·꼭짓점 개념에서 두 구슬 배치와 재료 검사를 자체 구성했어요. 원문의 도판·표·결정 실험은 재사용하지 않았어요.