GPS 신호의 도착 시간으로 만든 거리는 수신기 시계가 어긋나면 실제 거리와 달라요. NASA의 의사거리 설명에서 착안해 한 직선 위의 가상 송신기 두 개를 0km와 10km에 놓겠습니다. 송신 시계는 정확하고 전파 지연 등 다른 오차는 없어요.
수신 위치를 x km, 수신 시계 오차를 거리로 환산한 공통 편향을 b km라고 써요. 두 거리 기록은 p₀=|x|+b, p₁=|x−10|+b입니다. b는 양수나 음수일 수 있고, 기록은 실제 거리 자체가 아니에요.
먼저 수신기가 사이에 있어 0≤x≤10이면 절댓값을 풀 수 있어요. 두 기록을 빼면 b가 사라져요.
p₀=8, p₁=6이라는 기록에서는 2x−10=2로 x=6입니다. b=8−6=2도 구해지고 다른 기록 (10−6)+2=6과 맞아요.
그런데 오른쪽 바깥 x≥10에서는 p₀=x+b, p₁=x−10+b입니다. 차가 언제나 10이어서 x가 식에서 사라져요. 예를 들어 p₀=18, p₁=8은 x=15,b=3과 x=17,b=1 모두에서 나와요.
두 기록이라는 수는 같아도 송신기 배치와 위치 구간이 다르면 복원 가능한 정보가 달라져요. 신호가 오는 방향이 같은 쪽으로 모일 때 거리 변화와 공통 시계 편향이 섞이기 때문이에요. 실제 3차원 GPS의 충분한 위성 수를 이 직선 모형의 두 개로 대체한 주장은 아니에요.
참고한 수학 개념: NASA · Global Navigation Satellite Systems and How They Work.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.