가상 이동판에서 한 눈금은 1cm입니다. 두 기준 화살표 u=(20,1), v=(21,1)을 따라 이동하며, 역방향도 허용해요. 최종 이동은 au+bv로 나타내고 a,b는 정수예요. 여기서 비교할 길이는 거친 경로의 총길이가 아니라 출발점에서 최종점까지의 직선거리예요.
각 기준 화살표의 길이는 √401cm와 √442cm입니다. 둘 다 20cm보다 길어 보여요. 그렇다면 조합한 최종 이동 중에서도 길이가 20cm보다 작은 것은 없을까요?
v를 한 번 적용하고 u의 역방향을 한 번 적용하면 두 큰 이동의 공통 부분이 없어져요.
이 최종 이동은 길이 1cm입니다. 실제로 걸은 두 화살표의 경로는 길지만, 도착한 점은 출발점의 바로 옆이에요. 긴 기준 화살표라는 사실이 가까운 격자점의 부재를 뜻하지는 않아요.
이보다 짧은 비영 최종 이동은 있을까요? u와 v의 성분이 정수이므로 어떤 정수 조합의 좌표 (x,y)도 정수예요. (0,0)이 아니면 적어도 한 성분의 절댓값이 1 이상이에요.
앞에서 길이 1을 실제로 만들었으므로 최단 비영 이동은 정확히 1cm입니다. 기준 두 화살표 중 짧은 √401cm와 전체 격자에서 짧은 1cm는 다른 값을 재는 거예요. 격자의 가까운 이웃을 알려면 표현에 쓰인 화살표만 보지 말고 그 조합도 살펴야 해요.
참고한 수학 개념: AMS · What will they do when quantum computers start working?.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.