가상 길이 조절기의 배율 A는 정확히 √2, B는 정확히 1.414입니다. 두 수는 단위 없는 배율이에요. 정수 m배로 늘린 값을 정수 눈금 n과 비교하여 같은 쪽에 놓이는지 검사해요. m을 1부터 10까지만 쓰면 두 배율이 같다는 결론을 낼 수 있을까요?
mA와 mB의 정수 부분을 각각 구하면 둘 다 차례로 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14입니다. 이 열 경우에는 어느 값도 정수가 아니에요. 따라서 매번 같은 연속한 두 정수 사이에 있어, 어떤 정수 n과의 크기 비교에서도 같은 결과를 내요.
그러나 검사 범위를 더 넓히면 달라져요. m=5000, n=7071을 사용해 볼까요? B 쪽은 정확한 소수 계산으로 바로 확인돼요.
A 쪽은 양수의 제곱을 비교하면 돼요. 7071²=49,999,041이고 (5000√2)²=50,000,000이므로 다음처럼 반대쪽이에요.
작은 배수 검사에서는 같아 보였지만 하나는 눈금 아래, 다른 하나는 위에 있어요. 두 비율을 모든 정수 배수의 비교로 판정한다는 말에서 ‘모든’을 제한된 열 번으로 바꿀 수는 없어요. 반올림한 표시가 비슷하다는 관찰과 정확히 같은 배율이라는 주장은 서로 다른 수준의 정보예요.
참고한 수학 개념: AMS · Irrationality Tamed.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.