찻잎 전시는 물을 돌리다가 그릇을 멈추면 바닥 물이 안쪽으로 흐르며 작은 조각을 모으는 모습을 설명해요. 여기서는 멈춘 직후의 아주 짧은 순간만 보는 가상 수조 모형이에요. 중심 물의 각속도는 Ω=10rad/s이고, 바닥 층은 마찰로 ω=8rad/s까지 느려졌다고 정해요. 처음 반지름 방향 속도는 0입니다.
반지름 r에서 압력은 중심 물의 회전에 맞춰 바깥으로 증가해요. 밀도로 나눈 압력 기울기는 Ω²r이며 물을 안쪽으로 밀어 줘요. 바닥 층의 극좌표 회전 항은 ω²r입니다. 두 항의 차는 중심에서의 거리 r의 두 번째 시간미분 r̈입니다. 이는 실제 가속도 벡터의 반지름 성분 r̈−ω²r와 구별됩니다. 바깥 방향을 양수로 정해요.
r=0.05m이면 회전 항은 64×0.05=3.2m/s²입니다. 안쪽 압력 항은 100×0.05=5m/s²라서 거리의 두 번째 시간미분은 −1.8m/s²입니다. 물이 아직 돌고 있는데도 처음 반지름 방향 움직임은 안쪽으로 생겨요.
두 층의 각속도가 같으면 두 항은 상쇄돼요. 바닥이 더 느리면 ω²<Ω²라 안쪽, 더 빠르면 바깥쪽이에요. 물이 돌고 있다는 사실 하나만으로 반지름 방향을 정할 수 없어요. 압력 기울기를 함께 계산해야 해요. 실제 찻잎의 전체 궤적이나 장시간 흐름을 예측하는 모형은 아니에요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Tea Leaves.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.