볼링 8프레임까지 누계는 확정된 100점이고, 8번째는 두 공 합이 10 미만인 오픈이에요. 남은 9·10번째에서 135점 이상이 되려면 추가 공까지 실제 몇 핀이 최소일까요? 최소 기록도 모두 찾아볼까요? 핀 수는 0 이상 정수이며 파울·핸디캡·실제 투구 난도는 제외해요.
스트라이크는 첫 공 10핀에 다음 두 공, 스페어는 두 공 10핀에 다음 한 공을 더해요. 10번째는 스트라이크나 스페어이면 셋째 공을 던져요. 새 프레임이나 10핀을 채운 뒤 추가 공에는 새 10핀을 세운다. 같은 핀 묶음을 치는 두 공의 합은 10 이하예요.
P는 남은 실제 핀 수의 합, S는 두 프레임 점수의 합이에요. 목표는 S≥35입니다. 9번째가 오픈이면 S=P, 스페어이면 S≤P+10이라 P≤23으로 목표를 못 채워요. 9번째가 스트라이크일 때 10번째가 오픈이면 S≤28, 스페어이면 목표에 P≥25가 필요해요.
남은 부류는 9·10번째 첫 공이 모두 스트라이크예요. 10번째 추가 두 공의 핀을 순서대로 x,y라 해 볼까요?
P≤22이면 x+y≤2이고 2x+y≤4라 S≤34입니다. P=23에서는 x+y=3이고 2x+y≥5여야 하므로 x≥2입니다. 정수 순서는 두 개뿐이에요.
9번째 10핀 뒤 10번째를 10·2·1핀으로 치면 9번째 22점·10번째 13점, 10·3·0핀으로 치면 23점·13점이에요. 누계는 각각 135·136점, 실제 핀은 모두 23개예요. 두 기록은 남은 핀 조건에도 맞아 하한을 달성해요. 핀과 보너스 포함 점수를 별도 칸에 적어 볼게요.
착안: USBC Playing Rules, Rule2 The Game, complete 2a–2h, PDF11·인쇄9쪽. 알려진 일반 10핀 채점 규칙을 참고했어요. 확정 누계·목표·모든 남은 기록의 최소 핀 문항과 증명은 자체 구성했어요. 실제 투구 가능성이나 경기 전략의 최적성을 주장하지 않으며 원전 자료나 그림은 옮기지 않았어요.