같은 양의 물을 둔 수조에서 바닥의 절반이 드러나면 가장자리 물은 얼마나 깊을까요? MIT의 회전 수조 설명은 수면이 포물선 모양이 됨을 보여 줘요. 그 모양을 배경으로, 마른 바닥까지 포함하는 다음 종이 모형을 풀어 볼까요? 원전 실험의 관측값을 옮긴 문제는 아니에요.
반지름2인 원통에서 물 부피를4π로 고정해요. 길이는 같은 단위, 부피는 그 세제곱 단위예요. 벽은 충분히 높고 물은 넘치지 않아요. r은 축에서의 거리, h(r)는 바닥부터 물 깊이예요. a는 양수인 계수, c는 연장한 포물선 식의 상수예요. c가 음수여도 실제 깊이는 음수가 되지 않아요.
바닥의 마른 원판 넓이를2π, 즉 전체4π의 절반으로 요구해요. 그 반지름을 r₀, 가장자리 깊이를 H라 해 볼까요? 마르는 경계에서는 c+ar₀²=0입니다.
면적 조건만으로는 a가 정해지지 않아요. 교재의 단면 넓이 적분으로 물 부피도 맞춰 봐요. 높이 z에서 물은 바깥 반지름2인 고리에 있어요. 안쪽 반지름의 제곱은2+z/a여서 단면 넓이 S(z)는 다음과 같아요. 높이가 오를수록 고리의 넓이가 줄어들어요.
답은 가장자리 깊이4이고, 수면식의 계수는 a=2,c=−4입니다. 중앙의 실제 깊이는 h(0)=0입니다. c=−4를 중앙의 물 깊이라고 읽으면 안 돼요. 면적 조건이 c=−2a를, 부피 조건이 a=2를 하나씩 정하므로 이 모형 안의 답은 유일해요.
검산으로 a=1,c=−2를 넣으면 절반이 마르지만 물 부피는2π뿐이에요. a=1/2,c=0은 부피4π를 맞춰도 양의 넓이로 마른 바닥이 없어요. 학생은 같은 물의 양과 마른 면적을 동시에 확인해요. 실제 회전 속도·출렁임·수조 설치를 판정하는 계산은 아니에요.
착안: MIT Weather in a Tank, Solid Body Rotation — Introduction 및 Theory의 완전 설명 본문을 읽었어요. 원전의 중심 수심 식을 마른 중앙까지 그대로 적용한 것이 아니에요. 반지름·부피·마른 면적과 깊이의 양수 부분은 자체 정의한 교육용 모형이며 원문 사진·실험 수치·문단을 옮기지 않았어요.