진동판 전시는 크게 움직이지 않는 자리로 모래가 모일 수 있음을 설명해요. 여기서는 실제 금속판의 모드를 구하는 대신, 길이 1인 가상 줄의 위치 x∈[0,1]에서 변위 u를 두 시간 성분으로 정해요. t는 단위 없는 위상, 변위 단위는 mm입니다.
t=0이면 u=sin(2πx)이므로 x=0,1/2,1에서 변위가 0입니다. 가운데 1/2도 그 순간 원래 위치에 있어요. 하지만 t=π/2이면 u=sin(πx)라 가운데 변위는 1mm입니다. 가운데는 계속 고정된 마디가 아니에요.
모든 t에서 u=0인 점을 찾으려면 두 시각을 함께 봐요. t=0 조건은 sin(2πx)=0, t=π/2 조건은 sin(πx)=0입니다. [0,1]에서 두 조건을 모두 만족하는 점은 x=0과 1뿐이에요.
이 두 계수가 모두 0이면 어떤 t에서도 합이 0이므로, 두 끝점이 항상 고정된 마디라는 충분조건도 확인돼요. 한 장의 순간 모습에서 변위가 0인 점을 모두 영구 마디로 표시하면 잘못된 가운데 점을 포함해요. 순간 상쇄와 시간 내내 유지되는 영점을 구별해야 해요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Humming Plates.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.