같은 길이 세 판을 탁자 밖으로 가장 멀리 내밀려면 어떤 순서로 쌓아야 할까요? UCSB의 쌓은 블록 설명은 무게중심을 질량으로 가중한 위치의 평균으로 다뤄요. 이 원리로 질량이 다른 세 판을 비교해 봐요.
판은 균일하며 길이1이고 질량은 같은 단위로1·2·3입니다. 수평으로 한 층에 하나씩 놓아요. 탁자 끝은0, 탁자는 왼쪽이며 오른쪽이 양수예요. 위·중간·아래 질량을 a·b·c, 각 중심을 x₁·x₂·x₃라 해 볼까요? 좌표는 판 길이 단위예요.
C₁·C₂·C₃는 위에서부터 한 판·두 판·세 판 묶음의 무게중심이에요. 위 묶음 중심이 바로 아래 판의 길이 구간 안에 있고 전체 중심은 탁자 쪽이어야 해요. 경계도 허용하는 이상 모형을 다음처럼 정해요.
위 판의 오른끝 h=x₁+1/2를 최대화해요. C₁−C₂는 b/(a+b)배의 x₁−x₂이고, C₂−C₃는 c/6배의 C₂−x₃입니다. 계수가 양수라 교재의 부등식 규칙으로 x₁−x₂와 C₂−x₃의 상한1/2을 곱할 수 있어요.
상한은 x₃=−(a+b)/12, x₂=c/12−a/[2(a+b)], x₁=x₂+1/2로 잡아 달성해요. C₃=0,C₂=x₃+1/2가 되어 여섯 순서 모두 왼쪽 조건까지 만족해요. 다음은 모형 안의 최대예요.
| 위·중간·아래 질량 | 최대 h |
|---|---|
| 1·2·3 | 13/12 |
| 1·3·2 | 25/24 |
| 2·1·3 | 11/12 |
| 2·3·1 | 53/60 |
| 3·1·2 | 19/24 |
| 3·2·1 | 47/60 |
답은 위1·중간2·아래3입니다. 중심을 7/12·1/12·−1/4로 놓으면 C₂=1/4,C₃=0이고 h=13/12입니다. 학생은 세 지지 조건과 최댓값을 함께 검산해요. 경계의 중립 상태를 허용한 계산이며 실제 설치나 안전을 보장하지 않아요.
착안: UCSB Physics Lecture Demonstrations, 32.12 Stacked blocks의 완전 설명 본문에서 무게중심과 지지 원리를 읽었어요. 원전의 같은 질량 조화급수 결과는 알려진 배경이며, 길이1·질량1/2/3의 여섯 순서 및 명시 지지 조건의 상한·달성은 자체 종이 모형이에요. 원문 사진·실험 배치·문단을 옮기지 않았어요.