원 궤도의 속도는 중심을 향하지 않고 접선 방향이라는 NASA 설명에서 착안해 가상 행성을 생각해 봐요. 뉴턴 중력 모형에서 행성은 구형이고 표면 반지름은 1m입니다. 중력 상수와 행성 질량의 곱 μ=100m³/s²이고 공기 저항·추진은 없어요.
중심에서 r=10m인 위치에 속력 v=√10m/s인 물체 두 개를 둬요. A는 접선 방향, B는 중심의 반대인 바깥 방향으로 출발해요. 질량당 역학에너지 ε의 단위는 J/kg이고 둘 다 같은 값을 가집니다.
A는 원 궤도 조건 v²/r=μ/r²을 만족하며 r=10m를 유지해요. B는 방사 방향이어서 질량당 각운동량 |r×v|가 0입니다. 중력이 중심 방향이므로 앞으로도 방사선 위에서만 움직이에요.
B가 가장 멀리 가서 멈출 때 에너지 식은 −100/rₘₐₓ=−5입니다. 따라서 최대 거리는 20m이고, 이후 다시 내려와 표면에 닿아요. 표면 r=1m에서 에너지 식을 대입하면 다음과 같아요.
속력은 약 13.8m/s입니다. 두 물체의 처음 에너지와 속력은 같지만 하나는 원 궤도, 하나는 충돌 경로예요. 속력이라는 크기만으로 출발 속도의 방향과 각운동량을 대신할 수 없어요. 실제 행성의 크기·중력을 재현한 계산은 아니에요.
참고한 수학 개념: NASA · Imagine the Universe! Uniform Circular Motion.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.