로고 선의 중간 고리를 지우되 남은 선은 끊지 않고, 같은 점을 두 번 지나지 않게 잇고 싶어요. Michigan Tech의 베지에 곡선 정의를 배경으로 네 제어점을 정한 종이 도안을 살펴봐요.
좌표 단위는 cm이고 P₀=(0,0), P₁=(2,2), P₂=(−1,2), P₃=(1,0)입니다. 점의 덧셈과 곱셈은 좌표별로 해요. 선 두께는0이며 아래 B(t)의 x(t)·y(t)는 가로·세로 좌표예요.
t는 시간이 아닌 실수 매개변수예요. 삭제할 부분은 매개구간 (a,b) 하나뿐이에요. 0≤a<b≤1에서 앞부분의 끝 B(a)와 뒷부분의 시작 B(b)가 같아야 다시 이을 수 있어요. 접합점에서 꺾여도 되지만 끊김은 허용하지 않아요.
0≤s<t≤1인 두 입력이 같은 점을 만드는 모든 경우를 찾아볼까요? 세로 좌표의 차를 인수분해하면 s+t=1입니다. 이를 가로 좌표 차에 넣으면 st=1/10을 얻어요. z를 두 근을 구할 실수 변수로 두면, 두 매개값은 z²−z+1/10=0의 서로 다른 두 근이므로 아래 a·b 한 쌍뿐이에요. 두 점의 좌표는 모두 (1/2,3/5)입니다.
따라서 지울 구간은 (a,b)로 유일해요. δ는 삭제한 매개구간 길이, L은 남은 두 매개구간 길이의 합이에요. 둘 다 도안의 실제 선 길이가 아니에요. 새 입력 u도 [0,1]의 모든 실수로 두고, 남은 선을 다음 R(u)로 이어요.
L=2a>0이므로 u=1/2에서 앞 식은 B(a), 뒤 식은 B(b)에 도달해 연결돼요. 양끝은 원래 (0,0)·(1,0)입니다. 다른 두 u에서 점이 겹친다면 원래 B의 유일한 중복쌍 a·b여야 하는데, 둘은 새 입력1/2 하나로 합쳐졌어요. 그러므로 R은 남은 선 전체를 한 번씩 지나요. 고리 삭제가 실제로 연속성과 중복 없음 두 조건을 모두 만족해요.
베지에 일반식과 근과 계수 관계는 알려진 도구예요. 고리 구간을 지우고 남은 선을 새 입력으로 다시 잇는 과정은 자체 좌표 모형이에요. 실제 편집 앱의 동작이나 인쇄 품질을 시험한 결과는 아니에요.
착안: Michigan Technological University, C.-K. Shene, Construction of Bézier Curves. 제어점·매개변수·가중 다항식의 완전 도입 정의단위를 읽었어요. 원전 그림에도 고리가 있어 고리의 존재 자체는 새 내용으로 세지 않아요. 네 좌표·유일 절제구간·재매개화와 논증은 자체 구성했으며 원전 그림·문단·소프트웨어를 옮기지 않았어요.