같은 물통을 뒤집으면 배수 시간도 같을까요?

같은 물통을 뒤집으면 물이 다 빠지는 시간도 같을까요? 높이1cm, 양 끝 반지름1cm와2cm인 원뿔대를 종이 모형으로 잡아요. A는 좁은 끝, B는 넓은 끝을 아래에 놓고 각각 따로 가득 채워요. 물높이는 바닥부터 재며 배수구의 부피는 무시해요.

h와 r은 cm 단위 길이의 수치, t는 초예요. S는 단면적의 cm² 수치, q는 초당 빠지는 cm³ 수치예요. 두 방향에 같은 양수 계수k를 적용하며 유입·넘침은 없어요. X는 A 또는B이고, 빈 뒤에는 h=0을 유지해요.

\begin{gathered}r_A(h)=1+h,\quad r_B(h)=2-h,\quad0\le h\le1,\\S_X(h)=\pi r_X(h)^2,\quad q(h)=k\sqrt h,\quad k>0.\end{gathered}

반지름은 높이에 따라 직선적으로 바뀌어요. 두 용량은 단면적을 높이로 적분한7π/3cm³이고, 가득 찬 순간 유량도k로 같아요. 하지만 h가 내려가면 유량도 줄어들어요. 시작 유량으로 용량을 나눈7π/(3k)초를 전체 배수 시간으로 쓸 수는 없어요.

높이가 조금 내려갈 때 빠진 부피는 단면적×높이 변화예요. 이를 유량으로 나누어 걸린 시간을 더해요. ε는0과1 사이의 임시 수위다. T_X는 처음 가득 찬 때부터 최초로 비기까지의 초 단위 시간이에요.

\begin{gathered}S_X(h)\frac{dh}{dt}=-k\sqrt h,\quad h(0)=1,\\T_X=\lim_{\varepsilon\downarrow0}\frac1k\int_\varepsilon^1\frac{S_X(h)}{\sqrt h}\,dh,\\T_A=\frac{56\pi}{15k}<\frac{4\pi}{k}<\frac{86\pi}{15k}=T_B.\end{gathered}

A의 적분은π/k에2+4/3+2/5를, B는8−8/3+2/5를 곱한 값이에요. 따라서4π/k초 이내 비워야 하는 모형에서는 A만 골라요. B는 A보다43/28배 오래 걸려요.

0에서 유량이0이 되더라도 무한히 기다리는 것은 아니에요. 각 단면적은4π 이하이므로 남은 구간의 시간은8π√ε/k 이하로0에 가요. 교사는 같은 용량·초기 유량 확인 뒤 높이별 단면을 시간 계산에 넣게 해요. 토리첼리 법칙을 배경으로 계수를 고정한 자체 과제이며 실제 제품의 배수 시간이나 설치 성능을 검증한 결과는 아니에요.

착안: UBC Mathematics256, Fall1997 Second homework의 Optional4. 원문의 반구 문항·도판을 옮기지 않고 두 방향의 조건과 해설을 새로 작성했어요.

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