투명한 점 무늬 두 장을 겹친 도안을 작은 조각으로 복제하고 싶어요. Exploratorium은 반복 무늬를 겹치고 돌릴 때 모아레가 생기는 모습을 설명해요. 여기서는 눈에 보이는 밝기 대신 두 색 점의 자리만 정한 종이모형을 써요.
좌표 단위는 cm입니다. 붉은 점은 정수 좌표 전부, 푸른 점은 그것을 아래 R로 원점 둘레에서 돌린 점 전부예요. Z는 모든 정수예요. 겹친 자리에서도 두 색 정보를 보존하고, 복제할 때 회전이나 색 교환은 금지해요.
T의 아래첨자는 가로·세로 이동량이에요. 허용 이동은 두 점 집합을 각각 자기 자신으로 보내야 해요. 서로 평행하지 않은 허용 이동 두 개를 변으로 삼아 반복 평행사변형을 만들어요. 한 조각은 각 변의 비율을 0 이상 1 미만으로 잡아 경계 중복을 막아요. 가능한 모든 이동과 조각의 최소 넓이를 구해 볼까요?
붉은 점 때문에 이동은 정수 쌍 (m,n)입니다. 푸른 점도 맞추려면 거꾸로 돌린 ((3m+4n)/5,(−4m+3n)/5)도 정수여야 해요. 이는 n−3m이 5의 배수인 조건이에요. a=(2m+n)/5, b=(−m+2n)/5로 두면 둘 다 정수이고, 반대로 아래 모든 a·b는 두 색을 보존해요. Λ는 허용 이동 전체예요.
두 변의 계수를 각각 (a₁,b₁),(a₂,b₂)라 해 볼까요? 넓이 A는 두 변 좌표의 교차 곱 차의 절댓값이에요. 독립인 변에서는 식 안이 0 아닌 정수라 5보다 작을 수 없어요. 변 (2,1),(−1,2)는 실제로 두 색을 보존하며 넓이 5를 만들어요.
가로·세로 변만 쓰면 각 길이는 양의 5의 배수여야 해서 5×5 조각이 최소예요. 기울어진 조각을 허용하면 필요한 넓이가 1/5이 돼요. 푸른 장을45° 돌린 대조에서는 (m±n)/√2가 정수여야 해요. √2의 무리성으로 m=n=0이므로 반복 조각 자체가 없어요. 교사는 두 색을 각각 확인하게 해요. 실제 인쇄나 모아레 간격을 측정한 결과는 아니에요.
착안: Exploratorium, Moire Patterns Table. 완전한 전시 설명의 겹침·회전 배경만 참고했어요. 점 좌표·복제 규칙·구성과 증명은 자체 작성했고 원문 사진은 옮기지 않았어요.