넓은 펜촉의 중심이 원을 따라가면 원 안쪽도 비워질까요? Speedball의 넓은 끝 설명에서 착안하되, 실제 제품 성능 대신 두께 없는 길이2cm 선분이 닿은 모든 점에 잉크를 남기는 모형을 써요.
좌표의 단위는cm입니다. 중심 p=(cos t,sin t)는 반지름1cm 원을 한 바퀴 돌고 t는 라디안 각이에요. 선분 위 위치 u는 중심에서의 길이 수치로 −1부터1까지예요. F는 선분을 늘 수평으로 유지하고, T는 원의 접선 방향으로 돌려요. 잉크점 좌표를(x,y)라 하고 q_F와q_T는 각 방식의 잉크점이에요.
목표는 원 테두리는 그리면서 x²+y²<1인 안쪽 전체를 비우는 거예요. I_F와 I_T를 각 방식이 한 바퀴 동안 남긴 전체 잉크집합이라 해 볼까요?
F에서 높이 y의 중심 x는 ±√(1−y²)입니다. 각 중심에서 좌우1만큼 칠한 두 구간은 서로 겹쳐요. 따라서 수평 단면은 아래 I_F와 같고, t=0,u=−1이면 중심 원점에도 잉크가 물어요.
T의 접선 단위벡터 e=(−sin t,cos t)는 p와 내적이0입니다. p와 e의 길이는1이므로 잉크점 p+ue의 원점 거리 제곱은1+u²입니다. 반대로 고리의 어느 점이든 u=√(x²+y²−1)을 고른 뒤 중심 각도를 돌려 맞출 수 있어, 경계만이 아니라 고리 전체가 칠해져요.
따라서 T만 안쪽 전체를 비워요. 반지름1의 경계는 u=0일 때 칠해지므로 목표의 부등호가 엄격한 것도 중요해요. 같은 중심 경로를 그린다는 사실만으로 잉크 영역이 같다고 볼 수 없어요. 실제 펜촉의 휨·두께·잉크 번짐은 이 모형에서 다루지 않아요.
출처·착안: C-Series Pen Nibs, 12pc