가상 좌표 퍼즐은 가로 좌표 a가 정수이고 세로 좌표가 정수 b의 절반인 위치만 허용해요. 좌표 숫자는 길이 단위 없는 표기예요. 위치 (a,b/2)를 복소수 a+(b/2)i로 적으며 i²=−1입니다. 가로 간격 1, 세로 간격 0.5의 규칙적인 격자가 생겨요.
허용 좌표 두 개를 더하면 가로 성분은 정수끼리의 합, 세로 성분은 반 정수끼리의 합이에요. 따라서 결과도 허용 좌표예요. 빼도 같은 이유로 허용됩니다.
그렇다면 두 허용 좌표를 복소수로 곱한 결과도 언제나 격자에 들어갈까요? 원점의 바로 위 허용점 z=i/2를 자신과 곱해 볼까요?
이 점은 가로 좌표가 −0.25, 세로 좌표가 0입니다. 세로 조건은 맞지만 가로 좌표는 정수가 아니므로 허용 격자 밖이에요. 더하기에는 닫혀 있어도 곱하기에는 닫혀 있지 않아요.
눈금이 가지런한 격자라는 시각적 성질과, 특정 연산을 해도 집합 안에 남는다는 대수적 성질은 따로 확인해야 해요. 여기서 곱셈은 퍼즐에서 정한 복소수 연산이며, 두 물체를 실제로 곱한다는 행동이나 격자 거리의 곱을 뜻하지 않아요.
참고한 수학 개념: AMS · Welcome to the Fold.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.