곧은 막대가 휜 틈을 지나는 전시에서 착안해 가상 좌표를 만들어요. 길이 단위는 cm이고, 처음 막대의 연장선 위 점은 (1,s,s)입니다. s는 모든 실수예요. 이 직선을 z축 둘레로 각 θ만큼 돌리면 점의 좌표는 다음과 같아요.
θ를 고정하면 각 좌표가 s의 일차식이므로 언제나 직선이에요. 그런데 x²+y²를 더하면 교차항이 지워져 1+s²입니다. 따라서 회전 중 직선들이 만드는 표면은 x²+y²−z²=1을 만족해요.
수직 평면 y=0에서 막대와 만나는 점을 보면 x²−z²=1입니다. 이것은 직선이 아니라 두 가지를 가진 쌍곡선이에요. 예를 들어 s=√3, θ=−π/3이면 y=0이고 (x,z)=(2,√3)입니다. s=0, θ=0이면 (1,0)을 지나요.
막대가 휘어진 것이 아니에요. 회전 각도가 달라질 때 평면과 만나는 위치가 바뀌어 곡선 자취를 만들어요. 이 계산은 무한한 연장선을 쓰므로 실제 길이가 유한한 막대는 이 자취의 일부만 지나요. 직선 사물의 모양을 그 사물이 움직이며 남기는 단면과 같다고 볼 수는 없어요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Hyperbolic Slot.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.