지도 속 평평한 윗경계를 가운데만 높인 곡선으로 바꾸면서 넓이는 그대로 둘 수 있을까요? 바이에른 측량청의 면적계 전시는 불규칙한 테두리를 따라 넓이를 구하는 기계를 소개해요. 실제 땅을 바꾸는 대신, 단위 정사각형의 윗변을 고치는 종이 설계를 해 볼까요?
가로 x와 높이 h의 단위는 cm입니다. 밑변은 y=0, 양옆은 x=0과1로 고정해요. 윗경계 h는 실수 계수 다항식 하나이며 좌우대칭이어야 해요. 양끝 높이1과 수평 기울기를 유지하고, 가운데 높이는2로 올리되 넓이는1cm²로 남겨요. h′는 접선 기울기를 주는 도함수다.
가장 낮은 차수를 찾아볼까요? 높이의 변화 f=h−1은 양끝에서 값과 도함수가 모두0이므로 f=x²(1−x)²q라는 인수를 가져요. 5차 이하라면 q는1차 이하예요. 앞의 인수는 가운데를 기준으로 대칭이어서, 정적분0 조건은 q(1/2)=0을 강제해요. 그러면 가운데도 f=0이 되어 높이2를 만들 수 없어요.
6차에서는 q를 가운데 변수 u의 이차식으로 둬요. 좌우대칭으로 일차항이 사라지고, 가운데 조건은 상수항16을 정해요. 넓이 조건과 두 적분값을 쓰면 이차항 계수가−448로 정해져요.
이 식은 양끝 높이·기울기와 가운데 높이를 맞추고 정적분도1입니다. 곡선이 밑변 아래로 내려가는지도 확인해야 해요. v=(x−1/2)²는0부터1/4까지이며, h−17/49=448(9/28−v)(v−3/28)²≥0입니다. 따라서 전 구간 높이가 양수라 정적분1은 실제 둘러싼 넓이1과 같아요. 답은 최소6차, 그 차수의 대칭 경계는 위 식 하나예요. 높인 부분만 더하지 않고 주변의 낮아진 부분도 함께 계산하는 설계예요.
출처·착안: 200 Jahre Planimeter